Сб. Фев 24th, 2024

Как и количественные измерения, лингвистические оценки могут быть неточными. Например, понятию «старик» могут соот­ветствовать люди разного возраста в зависимости от того, кто оп­ределяет это понятие, а также от цели определения.

Семнадцати­летние юноши могут называть стариками сорокалетних родите­лей, а люди пенсионного возраста — тех, кому за 80.

Пусть U — полное множество объектов некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функ­цию принадлежностиЭта функция отображает эле­ментымножества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.

Если полное множество U состоит из конечного числа эле­ментов, то нечеткое множество /’можно предста­вить в следующем виде:

где знак + означает не сложение, а скорее объединение, а символ / показы­вает, что значениеотносится к элементуа не означает деление на

В случае если множество U является непрерывным, F можно записать как интефал:

Пусть U— множество людей в возрасте от 0 до 100 лет и пусть понятия «молодой», «среднего возраста» и «старый» представле­ны нечеткими множествами F1, F2 и F3 соответственно.

Эти не­четкие множества являются подмножествами множества U. Функции принадлежности элементов множества U к понятиям, представленным нечеткими множествами F1, F2,F3, показаны на рис. 3.9 и имеют следующий вид:

Рис. 3.9. Функции принадлежности нечетких множеств,

соответствующих понятиям: F1 — «молодой», F2 — «средний», F3 — «старый»

Принадлежность к нечеткому множеству F\, соответствую­щему понятию «молодой», составляет 1 для детей; двадцатилетний человек принадлежит множеству F\ со степенью 0.8, а сте­пень принадлежности тридцатилетнего равна 0.3. При записи функций принадлежности элементы нечеткого множества со значениямине включаются, поэтому функция принадлежности F\ содержит всего четыре терма, так как степень при­надлежности людей старше 30 лет к понятию «молодой» равна нулю. Аналогично построены функции принадлежности нечет­ких множеств Fin F5.

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими мно­жествами, как и над обычными, можно выполнять математичес­кие операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение мно­жества, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения:

Если нечеткое множество F\ соответствует лингвистической переменной «молодой», то какому понятию будет соответствовать дополнение этого множества? Нетрудно догадаться, что это будет понятие «немолодой», функция принадлежности которого пока­зана на рис. 3.10, а математическая запись имеет вид:

цп = 0.2/ 20 + 0.7/ 30 + 1/ 40 + 1/ 50 + 1/ 60 + + 1/ 70 + 1/ 80 + 1/ 90.

128

где операция v соответствует взятию максимума.

Какому поня­тию будет соответствовать объединение нечетких множеств F\ и  Вычислим функцию принадлежности

Рис. 3.11. Результаты объединения и пересечения нечетких множеств F1 и F2
Операция пересечения:

График этой функции приведен на рис. 3.11, а ее лингвисти­ческой интерпретацией является понятие «человек молодого или среднего возраста».

где символобозначает взятие минимума. Вычислим функцию принадлежности пересечения множеств F1 и F2:

Остальные члены этой функции, соответствующие значени­ям аргумента, кратным 10, равны нулю. Возможные лингвистические интерпретации: «уже не молодой, но еще не средний воз­раст», «одновременно молодой и средний возраст».

Симметрическая разность:

В рассматриваемом примере функция принадлежности нечеткого множества, соответствующаябудет интерпретироваться как «не молодой и не средний возраст» и иметь два минимума.

Нечеткие отношения. Элементы знаний связаны друг с дру­гом отношениями различного рода. Часто эти отношения заданы в виде текстовых описаний или правил, которые необходимо формализовать для реализации нечетких выводов.

Нечетким отношением R между полным множеством £/и дру­гим полным множеством К называется нечеткое подмножество прямого декартова произведенияопределяемое следующим образом:

Предположим, что между элементами знаний, представлен­ных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом:при этомОдин из способов построения нечеткого отношения между FwG, реализующий импликациюсостоит в следующем:

Пусть U и V — множества натуральных чисел от 1 до 4. Опре­делим понятия «малые числа» и «большие числа» с помощью не­четких множеств FnG соответственно:

130

Пусть задано правило: «ЕСЛИ и — малое число, ТО v — боль­шое». Построим соответствующее нечеткое отношение

Композиция нечетких отношений. Если знания представлены с помощью нечетких множеств и нечетких отношений, то для ре­ализации логических выводов в нечеткой среде необходимо иметь возможность применения совокупности правил. Посколь­ку знания в виде правил формализуются нечеткими отношения­ми, нужно уметь осуществлять их композицию, которая может выполняться с помощью операции максиминной свертки.

Пусть R — нечеткое отношение из области f/в область V, a S — нечеткое отношение из области Vb область W, тогда нечеткое от­ношение из области Ив область W определим как свертку следу­ющего вида:

 

Поясним применение максиминной свертки на примере.

Пусть R — нечеткое отношение между множествами UnV, ко­торые представляют собой совокупности натуральных чисел от 1 до 4. Семантика отношения R соответствует правилу: «ЕСЛИ и — малые числа, ТО v — большие». Конкретное значение этого отно­шения возьмем из предыдущего примера. Определим отношение S из Vb W. С этой целью на (определим понятие «немалые чис­ла», которое будет дополнением введенного ранее нечеткого множества F, и обозначим его F\. Введем множество W= {1, 2, 3, 4} и определим на нем понятие «очень большие числа», которое обозначим Н. К этому понятию числа 1 и 2 имеют степень при­надлежности, равную 0, число 3 имеет значение принадлежности 0.5, и только 4 принадлежит со степенью, равной 1:

Отношение между полными множествами Vn W сформули­руем в виде правила: «ЕСЛИ v — немалые числа, ТО w — очень большие числа». Построим нечеткое отношение S, соответствую­щее этому правилу и являющееся подмножеством декартова про­изведения F\ и Н:При парных сравнениях элементов i-й строки и j-го столбца из них выбирается наименьший, затем из четырех минимальных эле­ментов выбирается максимум, который является результатом, и за­писывается в ячейку с координатами i,j. Результирующее нечеткое отношение показывает взаимосвязь областей U и W. Вообще над нечеткими отношениями можно выполнять операции свертки других видов (минимаксная, максимультипликативная и т. п.).

Нечеткие выводы. Рассмотрим традиционный дедуктивный вывод, основанный на применении правила вывода Modus Ponendo Ponens, в среде нечетких знаний. Вспомним его формули­ровку: «ЕСЛИ А — истина, И импликация. — истина, ТО В — истина», т. е. из факта А и правила «ЕСЛИ А, ТО B», можно выве­сти В. В среде нечетких знаний факт А и образец правила А* не обязательно всегда и везде совпадают, так как факты представ­лены нечеткими множествами, являющимися подмножествами полных знаний, а правила — нечеткими отношениями, которые есть подмножества декартовых произведений полных множеств. Поэтому если А и А* близки друг к другу, то их можно сопоставить и получить вывод В* в сфере их совпадения. Композиционное правило вывода в среде нечетких знаний базируется на операции максиминной свертки и имеет вид:— нечеткое

отношение, соответствующее импликации— приближенное заключение, выраженное нечетким множеством

 

Вычислим максиминную свертку нечетких отношений результат которой должен соответствовать последовательному применению двух правил: «ЕСЛИ и — малое число, ТО v — боль­шое»; «ЕСЛИ v — немалое число, ТО w — очень большое»:

Пусть F и G — нечеткие множества, соответствующие поняти­ям «малые числа» и «большие числа» и являющиеся подмножест­вами полных множеств U — V= {1, 2, 3, 4}. Функции принадлеж­ности множеств F и G имеют вид:

Пусть также задано правило F—>G: «ЕСЛИ и — малые числа, ТО v — большие», формализованное нечетким отношением R

В качестве исходной посылки для вывода задан факт: «и — число около 2», представленный нечетким множеством  с функцией принадлежности

Используя композиционное правило вывода, попробуем дать ответ на вопрос: «Что представляет собой v, если и — число около 2, и, если области U и V cвязаны отношением R»?

График функции принадлежности результата нечеткого выво­да показан на рис. 3.12. Для нее можно предложить следующую лингвистическую интерпретацию: «v — не очень большое число» или «v — до некоторой степени большое число».

Рис. 3.12. Функция принадлежности результата нечеткого вывода

Ads Blocker Image Powered by Code Help Pro

Обнаружен блокировщик рекламы! Пожалуйста, обратите внимание на эту информацию.

We\'ve detected that you are using AdBlock or some other adblocking software which is preventing the page from fully loading.

У нас нет баннеров, флэшей, анимации, отвратительных звуков или всплывающих объявлений. Мы не реализовываем эти типы надоедливых объявлений! Нам нужны деньги для обслуживания сайта, и почти все они приходят от нашей интернет-рекламы.

Пожалуйста, добавьте tehnar.info к вашему белому списку блокирования объявлений или отключите программное обеспечение, блокирующее рекламу.

Powered By
100% Free SEO Tools - Tool Kits PRO