Как и количественные измерения, лингвистические оценки могут быть неточными. Например, понятию «старик» могут соответствовать люди разного возраста в зависимости от того, кто определяет это понятие, а также от цели определения.
Семнадцатилетние юноши могут называть стариками сорокалетних родителей, а люди пенсионного возраста — тех, кому за 80.
Пусть U — полное множество объектов некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функцию принадлежностиЭта функция отображает элементы
множества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.
Если полное множество U состоит из конечного числа элементов, то нечеткое множество /’можно представить в следующем виде:
где знак + означает не сложение, а скорее объединение, а символ / показывает, что значениеотносится к элементу
а не означает деление на
В случае если множество U является непрерывным, F можно записать как интефал:
Пусть U— множество людей в возрасте от 0 до 100 лет и пусть понятия «молодой», «среднего возраста» и «старый» представлены нечеткими множествами F1, F2 и F3 соответственно.
![]() |
Рис. 3.9. Функции принадлежности нечетких множеств,
соответствующих понятиям: F1 — «молодой», F2 — «средний», F3 — «старый» |
Принадлежность к нечеткому множеству F\, соответствующему понятию «молодой», составляет 1 для детей; двадцатилетний человек принадлежит множеству F\ со степенью 0.8, а степень принадлежности тридцатилетнего равна 0.3. При записи функций принадлежности элементы нечеткого множества со значениямине включаются, поэтому функция принадлежности F\ содержит всего четыре терма, так как степень принадлежности людей старше 30 лет к понятию «молодой» равна нулю. Аналогично построены функции принадлежности нечетких множеств Fin F5.
Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересечение множеств.
Операция дополнения:
Если нечеткое множество F\ соответствует лингвистической переменной «молодой», то какому понятию будет соответствовать дополнение этого множества? Нетрудно догадаться, что это будет понятие «немолодой», функция принадлежности которого показана на рис. 3.10, а математическая запись имеет вид:
![]() |
цп = 0.2/ 20 + 0.7/ 30 + 1/ 40 + 1/ 50 + 1/ 60 + + 1/ 70 + 1/ 80 + 1/ 90.
128
где операция v соответствует взятию максимума.
![](/files/uch_group48/uch_pgroup197/uch_uch1156/image/image156.jpg)
![]() |
Рис. 3.11. Результаты объединения и пересечения нечетких множеств F1 и F2 |
Операция пересечения: |
![]() |
График этой функции приведен на рис. 3.11, а ее лингвистической интерпретацией является понятие «человек молодого или среднего возраста».
где символобозначает взятие минимума. Вычислим функцию принадлежности пересечения множеств F1 и F2:
Остальные члены этой функции, соответствующие значениям аргумента, кратным 10, равны нулю. Возможные лингвистические интерпретации: «уже не молодой, но еще не средний возраст», «одновременно молодой и средний возраст».
![]() |
Симметрическая разность:
В рассматриваемом примере функция принадлежности нечеткого множества, соответствующаябудет интерпретироваться как «не молодой и не средний возраст» и иметь два минимума.
Нечеткие отношения. Элементы знаний связаны друг с другом отношениями различного рода. Часто эти отношения заданы в виде текстовых описаний или правил, которые необходимо формализовать для реализации нечетких выводов.
Нечетким отношением R между полным множеством £/и другим полным множеством К называется нечеткое подмножество прямого декартова произведенияопределяемое следующим образом:
Предположим, что между элементами знаний, представленных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом:при этомОдин
из способов построения нечеткого отношения между FwG, реализующий импликацию
состоит в следующем:
Пусть U и V — множества натуральных чисел от 1 до 4. Определим понятия «малые числа» и «большие числа» с помощью нечетких множеств FnG соответственно:
130
![]() |
![]() |
Пусть задано правило: «ЕСЛИ и — малое число, ТО v — большое». Построим соответствующее нечеткое отношение
Композиция нечетких отношений. Если знания представлены с помощью нечетких множеств и нечетких отношений, то для реализации логических выводов в нечеткой среде необходимо иметь возможность применения совокупности правил. Поскольку знания в виде правил формализуются нечеткими отношениями, нужно уметь осуществлять их композицию, которая может выполняться с помощью операции максиминной свертки.
Пусть R — нечеткое отношение из области f/в область V, a S — нечеткое отношение из области Vb область W, тогда нечеткое отношение из области Ив область W определим как свертку следующего вида:
Поясним применение максиминной свертки на примере.
Пусть R — нечеткое отношение между множествами UnV, которые представляют собой совокупности натуральных чисел от 1 до 4. Семантика отношения R соответствует правилу: «ЕСЛИ и — малые числа, ТО v — большие». Конкретное значение этого отношения возьмем из предыдущего примера. Определим отношение S из Vb W. С этой целью на (определим понятие «немалые числа», которое будет дополнением введенного ранее нечеткого множества F, и обозначим его F\. Введем множество W= {1, 2, 3, 4} и определим на нем понятие «очень большие числа», которое обозначим Н. К этому понятию числа 1 и 2 имеют степень принадлежности, равную 0, число 3 имеет значение принадлежности 0.5, и только 4 принадлежит со степенью, равной 1:
Отношение между полными множествами Vn W сформулируем в виде правила: «ЕСЛИ v — немалые числа, ТО w — очень большие числа». Построим нечеткое отношение S, соответствующее этому правилу и являющееся подмножеством декартова произведения F\ и Н:При парных сравнениях элементов i-й строки и j-го столбца из них выбирается наименьший, затем из четырех минимальных элементов выбирается максимум, который является результатом, и записывается в ячейку с координатами i,j. Результирующее нечеткое отношение показывает взаимосвязь областей U и W. Вообще над нечеткими отношениями можно выполнять операции свертки других видов (минимаксная, максимультипликативная и т. п.).
Нечеткие выводы. Рассмотрим традиционный дедуктивный вывод, основанный на применении правила вывода Modus Ponendo Ponens, в среде нечетких знаний. Вспомним его формулировку: «ЕСЛИ А — истина, И импликация. — истина, ТО В — истина», т. е. из факта А и правила «ЕСЛИ А, ТО B», можно вывести В. В среде нечетких знаний факт А и образец правила А* не обязательно всегда и везде совпадают, так как факты представлены нечеткими множествами, являющимися подмножествами полных знаний, а правила — нечеткими отношениями, которые есть подмножества декартовых произведений полных множеств. Поэтому если А и А* близки друг к другу, то их можно сопоставить и получить вывод В* в сфере их совпадения. Композиционное правило вывода в среде нечетких знаний базируется на операции максиминной свертки и имеет вид:
— нечеткое
отношение, соответствующее импликации— приближенное заключение, выраженное нечетким множеством
Вычислим максиминную свертку нечетких отношений результат которой должен соответствовать последовательному применению двух правил: «ЕСЛИ и — малое число, ТО v — большое»; «ЕСЛИ v — немалое число, ТО w — очень большое»:
Пусть F и G — нечеткие множества, соответствующие понятиям «малые числа» и «большие числа» и являющиеся подмножествами полных множеств U — V= {1, 2, 3, 4}. Функции принадлежности множеств F и G имеют вид:
Пусть также задано правило F—>G: «ЕСЛИ и — малые числа, ТО v — большие», формализованное нечетким отношением R
В качестве исходной посылки для вывода задан факт: «и — число около 2», представленный нечетким множеством с функцией принадлежности
Используя композиционное правило вывода, попробуем дать ответ на вопрос: «Что представляет собой v, если и — число около 2, и, если области U и V cвязаны отношением R»?
График функции принадлежности результата нечеткого вывода показан на рис. 3.12. Для нее можно предложить следующую лингвистическую интерпретацию: «v — не очень большое число» или «v — до некоторой степени большое число».
Рис. 3.12. Функция принадлежности результата нечеткого вывода