Пример 1

К стальному стержню сечением 2,0 см² и длиной 0,50 м подвешен груз массой 5,0 т. Каким запасом прочности обладает стержень, если предел прочности (разрушающее напряжение) при растяжении для стали 1,25*10⁹ Па? Каково относительное удлинение стержня? Какова энергия упругой деформации стержня? Массой стержня пренебречь.

Дано: m=5,0*10³ кг — масса груза, l=0,5 м — длина стержня, S=2,0*10^-4 м² — сечение стержня, g=9,8 м/с² — ускорение свободного падения, σ_l= 1,25*10⁹ Па— предел прочности стали, Е=2,2*10¹¹Па — модуль Юнга.

Найти: n — запас прочности; ɛ — относительное удлинение; П — энергию упругой деформации.

Решение. Запас прочности найдем по формуле n=σ_l/σ, где σ=F/S, a F=mg, откуда:

n= σ_lS/mg

Относительное удлинение найдем по формуле:

Зная деформирующую силу F=mg и абсолютную деформацию ∆l, определим энергию упругой деформации П:

Подставляя числовые данные, получим значения искомых величин:

Ответ. Запас прочности приблизительно равен 5; относительное удлинение приблизительно равно 1,1*10³; энергия упругой деформации стержня приблизительно равна 14 Дж.

Пример 2

Предел упругости, отпущенной стали 5,72*10⁸ Па. Будет ли деформация упругой или пластической, если стальная проволока длиной 3,00 м и сечением 1,20 мм² под действием растягивающей силы удлиняется на 8,00 мм? Под действием какой силы происходит такая деформация? Модуль Юнга для стали E=1,96*10¹¹ Па.

Дано: σ_УПР=5,72*10⁸ Па — предел упругости, l=3,00 м — длина проволоки, ∆l=8,00 мм=8,00*10^-3 м — абсолютное удлинение проволоки, S=1,20 мм²=1,2*10^-6 м² — сечение проволоки, E=1,96*10¹¹ Па — модуль Юнга.

Найти: Будет ли деформация упругой или пластической? Величину силы, вызывающей такое удлинение.

Решение. Для определения вида деформации в проволоке найдем напряжение в ней о и сравним его с пределом упругости σ_УПР. Напряжение найдем по закону Гука: σ=Eɛ. Учитывая, что ɛ=∆l/l, получаем:

Сравнивая полученную величину напряжения о с пределом упругости σ_УПР=5,72*10⁸ Па, видим, что напряжение в проволоке меньше предела упругости (σ<σ_УПР); следовательно, деформация в проволоке упругая.

Учитывая полученное значение напряжения, находим величину силы, вызывающей деформацию проволоки:

Ответ. Деформация проволоки упругая. Сила, вызывающая заданную деформацию проволоки, приблизительно равна 6,27*10² Н.