Два параллельных тонких кольца, радиусы которых одинаковы и равны 5,0 см, имеют в вакууме общую ось 0₁0₂, (рис. 30). Расстояние между их центрами 12 см. На первом кольце равномерно распределен заряд 8,2*10^-7Кл, а на втором равномерно распределен заряд 6,0*10^-7 Кл. Какая работа совершается при перемещении заряда 3,0*10^-9 Кл из центра одного кольца в центр другого?

Дано: r₁=r₂=r 5,0*10^-2м— радиусы колец, d=1,2*10^-1 м—расстояние между центрами колец, q₁=8,2*10^-7 Кл — заряд на первом кольце, q₂=6,0*10^-7 Кл — заряд на втором кольце, q=3,0*10^-9 Кл — заряд, перемещаемый в электрическом поле, ԑ₀=8,85*10^-12 Кл²/Н*м³ — электрическая постоянная.

Найти: А — работу, совершаемую при перемещении заряда между центрами заряженных колец.

Решение. Заряды, находящиеся на кольцах, нельзя считать точечными; поэтому непосредственно нельзя использовать для вычисления потенциала в вакууме формулу ф = q/4πԑ₀r, справедливую для точечных зарядов. Так как работа при перемещении заряда зависит от разности потенциалов точек начала и конца перемещения (в нашем случае это центры колец), для решения задачи необходимо вычислить потенциалы этих точек ф₀₁ и ф₀₂.

Условно разделим каждое из колец на п равных частей, и тогда заряд каждой части можно считать точечным:

q`<sub>1</sub>=q<sub>1</sub>/n и q`₂=q₂/n.

Потенциал, образованный точечным зарядам q`₁ в центре первого кольца:

Весь заряд q₁, распределенный на первом кольце, образует потенциал в его центре ф₁, равный алгебраической сумме потенциалов от n точечных зарядов, или:

Рассуждая подобным образом, найдем потенциал в точке О₁, образованный зарядом q₂, причем учтем, что l=√(d²+r²):

Потенциал электрического поля в центре первого кольца ф₀₁, образованный зарядами q₁ и q₂, будет равен:

ф₀₁=ф₁+ф₂

или

Повторяя все рассуждения, найдем выражение для потенциала в центре второго кольца ф₀₂:

Работу, совершаемую при перемещении заряда q из точки О₁ в точку О₂, определим по формуле:

A=q(ф₀₁+ ф₀₂)

Подставляя в формулу работы значения ф₀₁, ф₀₂ и производя преобразования, получим:

Ответ. Работа по перемещению заряда q в электрическом поле зарядов q₁ и q₂ приблизительно равна 7,3*10^-5 Дж.