Введенные математические объекты (векторы) существуют независимо от существования сил. Мы могли бы изучать следствия правила сложения векторов, если бы даже жили в таком мире, где нет никаких сил. Известно, например, из алгебры или, как будет показано, из геометрии, что одни и те же математические образы можно использовать для описания различных физических явлений.
Перемещение в пространстве
Наиболее простой физической операцией, которую можно охарактеризовать вектором, является операция перемещения в пространстве. Рассмотрим две точки α и b, лежащие в какой-то плоскости (например, два города на карте). Если переместить тело или, например, человека из α в b, то это перемещение (независимо от того реального пути, по которому оно происходило) можно описать вектором А, который начинается в точке α и оканчивается в b (фиг. 24). Его величина и направление следующие:
величина равна расстоянию между точками α и b, направление совпадает с направлением прямой, проведенной из точки α в точку b.
(Здесь мы решили ограничиться случаем, когда существенны лишь начальная и конечная точки перемещения. Если же нас интересует весь фактический путь, по которому проводилось перемещение, то введенного нами вектора недостаточно.)
Если теперь переместиться из точки b в точку с, то это перемещение будет описываться вектором В. Отсюда ясно, что перемещение из α в c, характеризующееся вектором С, связано с перемещениями из α в b и из b в c формулой
А + В = С. (3.13)
Таким образом, мы получили другую физическую интерпретацию математического объекта — вектора. Мы определили вектор и правило сложения векторов соответственно, как перемещение и комбинацию нескольких перемещений в пространстве. Нетрудно проверить, что все перечисленные выше постулаты для векторного сложения в этом случае удовлетворяются.
Выводы Галилея, относящиеся к движению бросаемых тел, можно теперь сформулировать в виде утверждения, что результирующая нескольких перемещений в разных направлениях находится с помощью правила сложения векторов и что величина горизонтального перемещения не зависит от величины вертикального перемещения.
Скорость
Мы определили скорость как изменение расстояния за некоторый промежуток времени, а равномерное движение — как движение с постоянной скоростью по прямой линии. Эти определения можно сформулировать в компактной форме с помощью понятия вектора. По аналогии с определением скорости:
введем определение вектора скорости:
где
Δd = изменение вектора перемещения = d2 – d1
(фиг. 25). (Отметим, что, согласно правилу сложения векторов, d1 + Δd = d2.)
Из этого определения следует, что вектор скорости есть вектор, величина которого равна скорости, а направление совпадаю с направлением движения:
В частности, из этого определения вытекает, что вектор скорости тела кет изменяться как при изменении величины скорости тела, так и при изменении направления его движения. Иными словами, вектор скорости не остается постоянным, если тело движется по прямой линии с переменной скоростью либо движется с постоянной скоростью, но по криволинейному пути.
Определим теперь вектор ускорения:
Следовательно, тело ускоряется при движении по прямой линии с нарастающей скоростью или при движении с постоянной скоростью, если направление его движения изменяется.
Тело, привязанное к веревке и вращающееся по кругу с постоянной скоростью (фиг. 26), ускоряется, так как направление его движения непрерывно меняется. (Поскольку тело ускоряется, к нему приложена сила, которая в данном случае характеризуется натяжением веревки.)