Вт. Май 21st, 2024

Рассмотрим установившееся течение жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы — веса жидкости. Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными. За бесконечно малый промежуток времени Dt участок струйки 12 переместится в положение 1?2?.

Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки.

Известно, что элементарная работа силы определяется выражением:

Untitled-11_clip_image004

Работа поверхностных сил давления тогда составит:

Untitled-11_clip_image006

Untitled-11_clip_image010

Т. к. в первом сечении направление сил давления совпадает с направлением вектора скорости, а во втором сечении оно противоположно, то:

Untitled-11_clip_image010

Untitled-11_clip_image012

Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки равна 0, вследствие ортогональности векторов давления и скорости. Суммарная работа поверхностных сил определится выражением:

Untitled-11_clip_image014

Элементарная работа массовых сил (сил веса) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы:

Untitled-11_clip_image016

Потенциальная энергия массы, заключенной в объеме W определяется выражением:

Untitled-11_clip_image018

Учитывая, что для несжимаемой жидкости r= const, получим:

Untitled-11_clip_image020

Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях можно представить в виде двух составляющих, рис. 3.1.

Untitled-11_clip_image022

Untitled-11_clip_image024
Масса жидкости, заключенная в объемах W1 и W2 определится как:

Untitled-11_clip_image026

Untitled-11_clip_image028

Т. к. приток массы в рассматриваемой струйке отсутствует, то:

M1 = M2

следовательно:

W1 = W2

Нетрудно заметить, что объем 1?-2 для рассматриваемых положений является общим, тогда:

Untitled-11_clip_image030

или

Untitled-11_clip_image032

Это выражение определяет закон сохранения массы для струйки несжимаемой жидкости. С учетом отмеченного:

Untitled-11_clip_image034

где dG = rgdW — элементарный вес жидкости, заключенный в объеме dW. 

Т. е.

Untitled-11_clip_image036

Применяя такой же прием, получим выражение для прироста кинетической энергии струйки:

Untitled-11_clip_image038

Запишем уравнение баланса энергии:

Untitled-11_clip_image040

Подставляя имеющиеся выражения в данную формулу, получим:

Untitled-11_clip_image042

после преобразований, с учетом того, что dW1 = dW2 =dW =dG/g, получаем:

Untitled-11_clip_image044

или, после перегруппирования членов:

Untitled-11_clip_image046

Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.
Величина Untitled-11_clip_image048 называется скоростным напором, Untitled-11_clip_image050 определена ранее как гидростатический напор, а величина Untitled-11_clip_image052 получила название полный напор.

Untitled-11_clip_image054

Рис. 3.2

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму гидростатического и скоростного напора и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение графиком, см. рис. 3.2.

От content

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *