Сб. Июл 20th, 2024

Число в системе счисления р с k разрядами, разумеется, будет иметь наибольшее значение в этом случае, если все числа числа окажутся наивысшими, т.е. равными р — 1. Тогда

Количество разрядов числа при переходе от одной системы счисления к другой в общем случае изменяется. Разумеется, если р = qσ (σ — не непременно целое), то (Zp)max = pk1 = qσk — 1. Т.е. количество разрядов числа в системах счисления р и q будут различаться в σ раз. Разумеется соотношение:

При всем этом основание логарифма никакого значения не имеет, так как σ определяется отношением логарифмов. Сравним количество цифр в числе 9910 и его представлении в двоичной системе счисления: 9910 = 11000112; т.е. двоичная запись просит 7 цифр заместо 2 в десятичной, σ = ln(10)/ln(2) = 3,322; как следует, количество цифр в десятичном представлении необходимо помножить на 3,322 и округлить в огромную сторону: 2-3,322 = 6,644 = 7.

Введем понятие экономичности представления числа в данной системе счисления.

Под экономичностью системы счисления будем осознавать то количество чисел, которое можно записать в данной системе при помощи определенного количества цифр.

Речь в этом случае идет не о количестве разрядов, а об полном количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как разные числа. Поясним на примере: пусть в распоряжении имеется 12 цифр. Можно разбить их на 6 групп по 2 числа («0» и «1») и получить шестиразрядное двоичное число; полное количество таких чисел, как уже не один раз дискуссировалось, равно 26. Можно разбить данное количество цифр на 4 группы по три числа и пользоваться троичной системой счисления — в данном случае полное количество разных их сочетаний составит 34. Аналогично можно произвести другие разбиения; при всем этом число групп обусловит разрядность числа, а количество цифр в группе — основание системы счисления. Результаты разных разбиений можно проиллюстрировать таблицей:

Из приведенных оценок видно, что более экономной оказывается троичная система счисления, при этом, итог будет этим же, если изучить случаи с другим начальным количеством сочетаний цифр.

Четкое размещение максимума экономичности может быть установлено методом последующих рассуждений. Пусть имеется п символов для записи чисел, а основание системы счисления р. Тогда количество разрядов числа k = п/р, а полное количество чисел (N), которые могут быть составлены, равно:

Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно отыскать то значение рт, при котором iN воспринимает наибольшее значение. Функция имеет вид, представленный на рис.4.3.

Для нахождения положения максимума необходимо отыскать производную функции N(p), приравнять ее к нулю и решить приобретенное уравнение относительно р.

Приравнивая приобретенное выражение к нулю, получаем ln p = 1, либо рт = е, где е = 2,71828… — основание натурального логарифма. Наиблежайшее к е целое число, разумеется, 3 — по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономной для представления чисел. В 60-х годах в нашей стране была построена вычислительная машина «Сетунь», которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все таки отдается двоичной системе, так как по экономичности она оказывается 2-ой за троичной, а на техническом уровне она реализуется еще проще других. Таким макаром, простота технических решений оказывается не единственным аргументом в пользу внедрения двоичной системы в компьютерах.

4.2.4. Перевод чисел меж системами счисления 2 ↔ 8 ↔ 16

Энтузиазм к двоичной системе счисления вызван тем, что эта самая система употребляется для представления чисел в компьютере. Но двоичная запись оказывается массивной, так как содержит много цифр, и, не считая того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Потому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. употребляются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор конкретно этих систем счисления обоснован тем, что переход от их к двоичной системе и назад осуществляется, как будет показано ниже, очень обычным образом.

Двоичная система счисления имеет основанием 2 и, соответственно, 2 числа: 0 и 1.

Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и числа 0, 1…..7.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и числа 0, 1, …, 9, А, В, С, D, Е, F. При всем этом символ «А» является 16-ричной цифрой, соответственной числу 10 в десятичной системе; В16 = 1110; С16 = 1210; D16 = 1310; Е16 = 1410; F16 = 1510. Другими словами, в этом случае А … F — это не буковкы латинского алфавита, а числа 16-ричной системы счисления и потому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, к примеру, соответственных строчных букв, как в текстах).

Пользуясь методами, сформулированными в разделе 4.2.1, можно заполнить табл. 4.1.

Докажем две аксиомы.

Аксиома 1. Для преобразования целого числа Zp Zq в том случае, если системы счисления связаны соотношением q = рr, где r — целое число большее 1, довольно Zp разбить справа влево на группы по г цифр и каждую из их независимо перевести в систему q.

Подтверждение:

Пусть наибольший показатель степени в записи числа р по форме (4.1) равен k — 1, при этом, 2r > k -1 > r.

Таблица 4.1.

Вынесем множитель рr из всех слагаемых, у каких jr. Получим:

где

Таким макаром, r-разрядные числа системы с основанием р оказываются записанными как числа системы с основанием q. Этот итог можно обобщить на ситуацию случайного k-1 > r — в этом случае выделится не две, а больше (т) цифр числа с основанием q. Разумеется, Zq = (bm … b0 )q.

От content

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *