Пример
Колебательный контур состоит из конденсатора с емкостью 48 мкФ и катушки с индуктивностью 24 МГн и активным сопротивлением 20 Ом. Определить частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре. Насколько изменится частота электромагнитных колебаний в контуре, если пренебречь активным сопротивлением катушки?
Дано: С=4,8*10-5 Ф — электроемкость конденсатора, L=2,4*10-2 Гн — индуктивность катушки, R=20 Ом — активное сопротивление катушки.
Найти: v1— частоту свободных электромагнитных колебаний в контуре; ∆v=(v1—v2) — насколько изменится частота колебаний в контуре, если его активное сопротивление будет равно нулю.
Решение. Частоту колебаний можно найти из соотношения:
Находим частоту v1:Если сопротивление R равно нулю, то формула для периода колебаний примет вид:
Отсюда найдем период колебаний при R=0 и частоту колебаний v2, а затем ∆v.
Определяем частоту v2:
Вычисляем изменение частоты:
Ответ. Частота свободных колебаний в контуре 132 Гц; в идеальном случае, когда R=0, частота собственных колебаний в контуре на 16 Гц больше.
Пример
Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора 2,0*10-8 Кл, а максимальный ток в контуре 1,0 А. Какова емкость конденсатора, если индуктивность контура 2,0*10-7 Гн? Какова энергия электрического поля конденсатора в тот момент, когда энергия магнитного поля составляет 3/4 от ее максимального значения? Определить напряжение на конденсаторе в этот момент. Активным сопротивлением контура пренебречь.
Дано: qм=2,0*10-8 Кл — максимальный заряд конденсатора, Iм=1,0 А — максимальный ток в контуре, L=2,0*10-7 Гн — индуктивность контура, R=0 — активное сопротивление контура, с =3*108 м/с — скорость распространения электромагнитных волн и вакууме.
Найти: λ — длину электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур; С — емкость конденсатора; Wэл — энергию электрического поля в тот момент, когда энергия магнитного поля составляет 3/4 от ее максимального значения; U— напряжение на конденсаторе в тот же момент времени.
Решение. Длина волны определяется по формуле:
λ=cT
где T = 2π√(LС). Для нахождения периода колебаний используем закон сохранения и превращения энергии. При незатухающих колебаниях максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля и равна полной энергии электромагнитных колебаний в контуре, т. е.
Wэл.м=Wмаг.м=W;
отсюда
qм2/2С=LIм2/2 и LC=q м2 / Iм2
Тогда Т =2π(q м/ Iм)
Находим длину электромагнитной волны:
Зная индуктивность контура, находим емкость конденсатора:
Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре равна сумме мгновенных значений энергии электрического и магнитного полей и, при отсутствии затухания колебаний, есть величина постоянная:
где
Следовательно,
Подставляя числовые значения, находим энергию электрического поля для данного момента времени:
Энергия электрического поля определяется по формуле Wэл=CU2/2. Получаем
откуда находим мгновенное значение напряжения U на конденсаторе:
Ответ. Длина электромагнитной волны 38 м; емкость конденсатора 2,0*10-9 Ф; мгновенное значение энергии электрического поля 2,5*10-7 Дж; мгновенное напряжение 5,0 В.
Пример
Определить длину электромагнитной волны в вакууме, если частота колебаний в ней 4,5*1011 Гц. Чему равна скорость распространения и длина этой же волны в бензоле, если его относительная диэлектрическая проницаемость 2,28? При решении использовать теорию Максвелла.
Дано: v=4,5*1011 Гц — частота колебаний в волне, ε=2,28 — диэлектрическая проницаемость бензола, ε0=8,85*10-12 Ф/м — электрическая постоянная, μ0=4π*10-7 Гн/м — магнитная постоянная.
Найти: λ0— длину электромагнитной волны в вакууме; υ — скорость распространения волны в бензоле; λ— длину этой же волны в бензоле.
Решение. Вычисляем скорость распространения электромагнитных волн в вакууме:
Определяем длину волны в вакууме:
Находим скорость распространения электромагнитной волны в бензоле *) и вычисляем ее длину:
*) Прозрачными веществами для электромагнитных волн являются диэлектрики, у которых магнитные свойства очень слабо зависят от их рода, поэтому их относительную магнитную проницаемость можно принять равной единице. По-скольку
Ответ. Длина волны электромагнитных волн в вакууме 0,67 мм; скорость распространения волны в бензоле 2*108 м/с; длина этой же волны в бензоле 0,44 мм.