Решение задачи о силе давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае сводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Чаще всего приходится иметь дело с цилиндрическими или сферическими поверхностями, имеющими вертикальную плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этих случаях приводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем цилиндрическую поверхность AB с образующей, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 2.8), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях: а) жидкость расположена сверху (на рисунке слева) и б) жидкость расположена снизу (на рисунке справа).

В случае “а” выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой поверхностью AB, вертикальными поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободную поверхность жидкости, т. е. объем ABCD. Рассмотрим условия равновесия этого объема в вертикальном и горизонтальном направлениях. Если жидкость действует на поверхность AB с силой P, то поверхность AB действует на жидкость с силой P, направленной в противоположную сторону. На рис. 2.8 показана эта сила реакции, разложенная на две составляющие: горизонтальную Pr и вертикальную Pв.

Условие равновесия объема ABCD в вертикальном направлении имеет вид (2.8):

где p₀ – давление на свободной поверхности жидкости;
Sr – площадь горизонтальной проекции поверхности AB;
G – вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности EC и AD взаимно уравновешиваются, и остается лишь сила давления на площадь BE, т. е. на вертикальную проекцию поверхности AB – Sв (2.9):

Определив по формулам (2.8) и (2.9) вертикальную и горизонтальную составляющие, найдем полную силу давления P:

В том случае, когда жидкость расположена снизу, величина гидростатического давления во всех точка поверхности AB имеет тоже значение, что и в предыдущем случае, только направление его будет противоположным. Суммарные силы Pв и Pr, определяются по тем же формулам, но с обратным знаком. При этом под величиной G следует понимать вес жидкости в объеме ABCD, хотя он, и не заполнен жидкостью. Положение центра давления на цилиндрической стенке может быть найдено, если известны Pв и Pr и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема ABCD. Задача облегчается, если рассматриваемая цилиндрическая поверхность является круговой. Тогда равнодействующая сила пересекает ось поверхности, это следует из того, что элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу. Изложенный способ определения силы давления применим также и к сферическим поверхностям. Применим описанный выше прием для доказательства закона Архимеда.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом W (рис.  2.9).

Рис. 2.9

Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть тела ACB от нижней ее части ADB. Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме AA’B’BCA. Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме AA’B’BDA. Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело PA будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме W тела. В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом.