Вращательное движение

Модель твердого тела оказывается наиболее плодотворной при изучении собственных движений. Собственные движения произвольной системы из N частиц могут оказаться чрезвычайно сложными, включающими сжатие, колебания, деформации и т. д. Для твердого же тела существует лишь одно возможное собственное движение.

Оно может только вращаться, так как пространственное расположение всех частиц, образующих- это тело, всегда остается неизменным (фиг. 160). Точка или линия, относительно которых тело вращается, могут совпадать, а могут и не совпадать с его центром масс, однако если они совпадают, движение тела оказывается наиболее простым.

Рассмотрим теперь вопрос: при каком условии твердое тело вращается и как это вращение связано с силами, действующими на тело? Допустим, имеется тело (как на фиг. 161), и на него действуют внешние силы, сумма которых равна нулю. Мы интуитивно чувствуем, что, хотя сумма внешних сил равна нулю (так что центр масс будет двигаться равномерно), тело повернется, так как одна сила действует в одну сторону, а другая — в противоположную.

Нам не нужно вводить никаких дополнительных предположений, чтобы выяснить, какие силы вызывают вращение тел и каково будет это вращение. Мы согласились, что все частицы, образующие систему, движутся в соответствии с законами Ньютона и что внутренние силы, сохраняющие форму твердого тела, подчиняются третьему закону. Отсюда можно получить все виды движения тела под действием приложенных к нему различных внешних сил. Однако в нашу задачу не входит проведение подробных расчетов такого рода. Мы собираемся здесь проиллюстрировать разнообразные теоремы, доказать их в простейших случаях и попытаться объяснить их значение в различных ситуациях.

Масса тела и положение его центра масс полностью определяют его поступательное движение. Что касается вращательного движения, то наиболее важной характеристикой служит здесь распределение вещества относительно центра масс — является ли тело сильно вытянутым или, наоборот, сплющенным. Распределение вещества характеризуется некоторыми средними величинами, называемыми моментами инерции, для вычисления которых необходимы расчеты, сходные с расчетами положения центра масс тела. Рассмотрим довольно простой пример твердого тела, когда легко провести подобные расчеты для пояснения основных идей, не прибегая к сложным вычислительным операциям.

Представим себе гантель, скрепленную невесомым стержнем (фиг. 162). Хотя такое тело выглядит удивительно простым, оно характеризуется тем элементарным неоднородным распределением вещества, которое отличает твердое тело от точечной частицы, и дает нам возможность проиллюстрировать некоторые особенности поведения твердых тел. Будем считать, что центральный стержень укреплен на оси, внешние силы, как показано на фиг. 163.

Мы нарисовали только внешние силы. Они равны по величине и направлены в противоположные стороны, так что полная внешняя сила, действующая на тело, равна нулю, а его центр масс (расположенный в середине), находившийся вначале в покое, остается неподвижным.

Будет ли тело вращаться? Несмотря на весьма распространенное, зачастую не скрываемое невежество людей в вопросах физики, лишь немногие станут отрицать, что тело при таких обстоятельствах начнет вращаться. Однако такой вывод, вообще говоря, не следует из принятых нами допущений. Мы должны получить ответ на заданный вопрос, применяя к каждой частице системы законы движения Ньютона. (Когда мы говорим о невесомых стержнях, мы имеем в виду, что они лишь поддерживают форму тела, но сами не обладают массой, т. е. их инерцию не надо учитывать.)

Чтобы исследовать движение отдельных частей 1 и 2, необходимо учесть действие внутренних сил. Согласно третьему закону Ньютона (в обычной формулировке), внутренние силы равны по величине и направлены в противоположные стороны, т. е. сила, с которой тело 1 действует на тело 2, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой тело 2 действует на тело 1. Однако предположим, что эти силы направлены так, как показано на фиг. 164. Если бы внутренние связи, удерживающие частицы в твердом теле, реагировали по какой-то причине на действие сил так, как изображено выше, получилось бы следующее. Рассмотрим частицу 1. Применяя к ней второй закон Ныотона, имеем (14.2):

То же для частицы 2 (14.3):

Внутренние силы, как и требовалось, равны по величине и направлены в противоположные стороны. Однако их направление относительно внешних сил таково, что они уничтожают действие этих сил и части остаются в покое. Твердое тело остается неподвижным, хотя внутренне мы абсолютно уверены, что при таких условиях оно не может не начать вращаться. Действительно, если бы такие внутренние силы оказались отличными от нуля в отсутствие внешних сил, тело могло бы начать вращаться самопроизвольно, так как сила, например, не сбалансированная внешней силой, действовала бы на частицу 1, в результате чего последняя начала бы двигаться.

Возражение: «Это абсурд. Тела не ведут себя подобным образом!» стоит проанализировать. Это возражение означает, что из введенного нами допущения о характере внутренних сил следуют результаты, которые противоречат нашим наблюдениям твердых тел. Чтобы согласовать эти наблюдения (в частности, невозможность самопроизвольного вращения твердых тел) с выводами теории, необходимо ввести правильные дополнительные предположения о природе внутренних сил. Таков процесс физических исследований: часто изучение следствий из определенной системы постулатов приводит к выводам, противоречащим опыту, в результате чего приходится пересматривать исходные постулаты.

В данном случае пересмотреть исходные посылки нетрудно. Введем предположение, что силы, действующие между любыми двумя телами, не только равны по величине и противоположно направлены (как мы считали ранее), но и действуют по линии, соединяющей эти два тела (фиг. 165).

Были споры о том, опирался ли Ньютон на это предположение при формулировке своего третьего закона: «действию всегда есть равное и противоположное противодействие». Тщательное изучение его доказательств свидетельствует о том, что он использовал его. Например, при доказательстве следствия III Ньютон предполагает, что равные и противоположно направленное силы действуют вдоль линии, соединяющей два тела. Это еще один пример того, что постулат иногда не содержит явно всего, что подразумевает автор, и по тому, как он использует постулат при доказательствах теорем, часто можно судить, что именно автор имел в виду.

В данном случае Ньютон, по-видимому, считал все силы, действующие между любыми двумя телами, сходными с гравитационными, которые всегда действуют вдоль линии, соединяющей два тела. Он предположил, что остальные силы (равные и противоположно направленные) тоже действуют вдоль этих линий, но изменяются с расстоянием по более сложному закону, чем гравитационные. Имея в виду это предположение о характере внутренних сил, вернемся теперь к проблеме вращения и введем два важных определения — момента силы и углового момента.

Момент силы (torque)

Слово «torque» происходит от латинского «torquere», которое означает «поворачивать». В случае вращательного движения момент силы, поворачивающий тело, является аналогом силы, заставляющей тело двигаться поступательно. Эго дает нам возможность получить законы вращения, почти полностью идентичные законам поступательного движения. Следует, однако, указать отличительную особенность этих законов: они выступают не как новые постулаты, а как теоремы, основанные на законах движения отдельных частиц.

Сначала определим момент силы в простейшем случае. Его величина относительно точки О равна (фиг. 166.)

В общем случае величина момента силы относительно точки определяется компонентой силы, перпендикулярной линии, соединяющей точку приложения силы с точкой, относительно которой вычисляется момент. Величина момента различна по отношению к разным точкам и пропорциональна длине плеча, соединяющего эти точки с точкой приложения силы (фиг. 167).

На предыдущем рисунке силы поворачивали тело в одну сторону. Если направить одну из них, например, силу, приложенную к телу 2, в противоположную сторону (фиг. 168), то соответствующие повороты окажутся скомпенсированными. Теперь сумма сил не будет равна нулю, и центр масс системы начнет двигаться, причем тело, как нетрудно догадаться, вращаться не будет. Для описания подобных ситуаций припишем моменту силы знак: будем считать, что момент положителен, если сила поворачивает тело против движения часовой стрелки, и отрицателен, если поворот совершается по часовой стрелке. При таком определении моменты сил на фиг. 166 сложатся, а на фиг. 168 взаимно уничтожатся.

Очень удобно описывать момент силы при помощи вектора. Величину этого вектора мы уже определили. Направление же его определяется как направление перпендикуляра к плоскости, которая содержит вектор силы и плечо (фиг. 169). Далее, определим сумму моментов сил относительно точки как векторную сумму отдельных моментов. Поскольку мы собираемся анализировать силы, лежащие преимущественно в одной плоскости, мы должны будем только складывать или вычитать моменты как простые числа, не обращаясь к правилам векторного сложения для моментов сил.

Из этих определений сразу же вытекают два следующих примечательных свойства. Во-первых, величина поворота зависит от длины плеча в такой же мере, как и от величины силы. Иными словами, маленькая сила, действующая на длинное плечо, дает тот же эффект, что и большая сила, но действующая на короткое плечо. Во-вторых, величина поворота зависит от того, действуют ли два момента сил в одном и том же или в противоположных направлениях.

Сформулируем теперь основную теорему, характеризующую момент системы частиц. Если на систему из N частиц действуют внешние силы, то к частицам приложены определенные моменты сил. Однако поскольку между частицами действуют и внутренние силы, то с последними тоже связаны моменты. В этом случае справедлива

Теорема 14.1. Полный момент сил относительно точки равен сумме моментов только внешних сил.

Другими словами, полный момент внутренних сил равен нулю (подобно тому, как и результирующая этих сил равна нулю), т. е. под действием только внутренних сил система не может повернуться. Мы не будем доказывать эту теорему, отметим только, что обращение полного момента внутренних сил в нуль есть следствие нашей интерпретации третьего закона Ньютона, а именно следствие того предположения, что внутренние силы между двумя телами действуют вдоль линии, соединяющей эти тела (фиг. 170).

Для теории вращательного движения этот результат важен не менее, чем взаимное уничтожение всех внутренних сил в системе для теории поступательного движения. В данном случае, как мы видим, изменение полного момента сил системы частиц происходит под действием одних только внешних сил. Ниже мы покажем, что тело изменяет свое вращательное движение под действием полного момента сил, обусловленного только внешними силами.

При поступательном движении действие полной внешней силы вызывает изменение полного, импульса системы. Поэтому не удивительно, что нам удастся найти такую величину, полное значение которой по аналогии с полным импульсом изменяется под действием приложенного к системе полного момента внешних сил. Если эта аналогия подтвердится, мы вправе будем ожидать, что полное значение искомой величины останется постоянным, когда полный момент сил обратится в нуль. Конечно, заранее нельзя быть уверенным в том, что можно найти такую величину, однако в данном случае, как мы сейчас убедимся, это возможно.

Угловой момент

Искомая величина очень удачно называется угловым моментом; раньше мы говорили, что сила вызывает изменение момента количества движения (импульса), а теперь можно сказать, что «угловая сила», или «поворачивающая сила» (момент силы), вызывает изменение углового момента.

Прежде чем дать общее определение, рассмотрим угловой момент одной частицы относительно произвольной точки (фиг. 171). Как и при определении момента силы, здесь важную роль играет длина плеча, или расстояние между частицей и выбранной точкой. На фиг. 171 это расстояние обозначено, как и раньше, буквой R. Будем считать, что частица обладает массой m и движется со скоростью v. Если скорость v перпендикулярна плечу, то величина углового момента частицы с массой т относительно точки О равна произведению ее импульса (mv) на длину плеча R:

величина и знак углового момента = — mvR. (14.6)

Знак углового момента, как и знак момента силы, зависит от направления вращения, и в данном случае он отрицательный, так как вращение происходит по часовой стрелке. Если направление скорости не перпендикулярно плечу, то величина углового момента определяется как произведение нормальной к плечу компоненты импульса на длину плеча R:

—mvR

Угловой момент, как и момент силы, является вектором, величина и знак которого определены выше, а направление совпадает с нормалью (перпендикуляром) к плоскости, образованной векторами скорости и плеча к (фиг. 172). Полный угловой момент системы частиц относительно точки равен векторной сумме угловых моментов частиц.

Характерная особенность твердого тела состоит в том, что при его вращении все частицы, образующие тело, вращаются таким образом, что их угловые моменты относительно любой точки параллельны друг другу. Поэтому для нахождения полного углового момента твердого тела необходимо вычислить только арифметическую сумму величин угловых моментов отдельных частиц, как как знаки и направления этих моментов одинаковы для всех частиц. В качестве примера рассмотрим введенную нами ранее простую модель твердого тела.

Величина углового момента относительно точки O каждой части гантели, вращающейся со скоростью v, равна mvR, а ее полный момент равен по величине 2mvR. Вектор полного момента направлен вдоль линии, перпендикулярной плоскости, образованной вектором скорости V и прямой, соединяющей две точечные массы (фиг. 173).

Для твердого тела более сложной формы величина полного углового момента равна сумме величин угловых моментов отдельных частиц (так как их направления и знаки одинаковы для всех частиц):

Если, например, все частицы находятся на одинаковом удалении от некоторой точки (центра), то они будут двигаться с одинаковыми скоростями (так как тело твердое), и сумма (14.7) примет вид:

Так, тяжелое вращающееся колесо со спицами пренебрежимо малой массы обладает угловым моментом, равным МvR и направленным, как указано на фиг. 174.

Законы вращательного движения

Сформулируем теперь две важные теоремы, используя введенные понятия момента силы и углового момента. Первая приписывает вращению свойство инерции.

Теорема 14.2. В отсутствие моментов внешних сил или, когда полный момент сил системы равен нулю, угловой момент системы остается постоянным.

В этой теореме содержится еще один из важнейших результатов механики — закон сохранения углового момента. Этот результат оказался гораздо более глубоким и более важным, чем сама механика. Будучи связан с эквивалентностью всех направлений в пространстве, этот закон справедлив не только для ньютоновских систем и считается одним из наиболее фундаментальных принципов физики. Для системы частиц или для твердого тела направление и величина углового момента остаются постоянными, если отсутствуют моменты внешних сил.

Вторая теорема связывает скорость изменения углового момента c полным моментом внешних сил.

Теорема 14.3. Полный момент внешних сил равен скорости изменения во времени углового момента:

T^полн=∆L/∆t

Или в другой формулировке: произведение полного момента сил на малый временной интервал, в течение которого он действовал, равно изменению углового момента за этот же отрезок времени:

T^полн∆t=∆L (14.9)

Эти две теоремы (первая есть частный случай второй) называются законами вращательного движения. Они поразительно сходны с законами поступательного движения:

1. I. Закон инерции: в отсутствие (сил P=const (поступательное движение), момент сил L=const (вращательное движение)).
2. II. Второй закон: при наличии (сил ∆P=F^внешн∆t (поступательное движение), моментов сил ∆L=T^внешн∆t (вращательное движение)).

Гантель

В случае твердого тела простейшей формы (гантели) последняя теорема может быть доказана следующим образом. Идея доказательства: с помощью законов движения для каждой части тела получить соотношение между моментом сил и угловым моментом.

Если учесть, что гантель — твердое тело, вращающееся вокруг оси, проходящей через точку О, то легко видеть, что векторы момента сил и углового момента направлены вдоль той же оси (фиг. 175). Далее, поскольку сила, действующая по часовой стрелке, увеличивает ращение по часовой стрелке (или уменьшает вращение против часовой стрелки), то направление момента сил = направлению изменения углового момента.

Так как точечные массы вынуждены вращаться по. окружности, внутренние силы перпендикулярны направлению движения, т. е. не совершают работы и, следовательно, не изменяют скорости. Только внешние силы могут изменить скорость в соответствии со вторым законом движения:

Хотя некоторые выкладки в представленной выше теории могут оказаться трудными для понимания и сформулированные там теоремы не были строго доказаны, технические подробности не должны были скрыть от нашего взора основные конструктивные детали разработанной системы — ньютоновские частицы, силы, подчиняющиеся третьему закону, и такие величины, как момент силы, угловой момент и другие. Используя эти детали и предполагая, что движение каждой частицы подчиняется второму закону Ньютона, мы нашли ответ на поставленный ранее вопрос: «Каким образом связаны силы с вращательным движением?» Ответ содержится в одном уравнении:

T^внешн∆t=∆L (14.15)