Волновая функция

Возможно, что понятие волны станет яснее при более формальном изложении. Рассмотрим функцию Ψ(х) (фиг. 221). Каждому значению x соответствует число Ψ(х). (Мы используем греческую букву Ψ вместо f, так как под Ψ мы понимаем особый класс функций, которые называются волновыми функциями и будут определены ниже.

Поступая таким образом, мы выражаем в обозначениях двадцатого века ту идею, которая возникла по крайней мере еще в семнадцатом столетии.) Попытаемся выбрать из всего класса возможных функций подкласс функций, обладающих нужными нам свойствами. Эти функции являются решениями так называемых волновых уравнений. Последние по отношению к волновым функциям играют такую же определяющую роль, какую законы движения Ньютона играют для всех возможных траекторий частиц, удовлетворяющих этим законам. Поскольку мы не владеем математическим аппаратом для анализа волновых уравнений, мы не будем их здесь выписывать, а только обсудим свойства их решений. Тем более что свойства решений уравнений, безусловно, представляются более важными и фундаментальными, чем сами уравнения.

Представим, что Ψ(х) меняется со временем. Спрашивается: как будет выглядеть функция Ψ(х), например, при t=1 с или t=2 с, если при t=0 она имела вид, представленный на фиг. 222? Если изобразить графически Ψ(х) при t=0, t=1, t=2 и т. д., мы получим картинки, показанные на фиг. 223. Эти картинки изображают, как функция Ψ(х) изменяется со временем, или, другими словами, они описывают временное развитие волновой функции. Импульс сохраняет свою форму и движется с постоянной скоростью слева направо.

Мы можем считать, что эта волновая функция есть функция не только x, но и t. Запишем ее в виде Ψ(х, t). Ее смысл остается прежним, но значение функции определяется теперь не только пространственной координатой x, но и моментом времени t. Например, из фиг. 223 видно, что значения волновой функции в точке х=α различны при t=0 и t=1. Если при t=0 волновая функция максимальна в этой точке, то при t=1 ее значение практически равно нулю. Если проследить за движением максимума, то можно убедиться, что он проходит через точки х=α при t=0, x=b при t=1 и х=с при t=2. При движении волны с постоянной скоростью расстояние между α и b равно расстоянию между b и c при условии, конечно, что временной интервал между 0 и 1 такой же, как и между 1 и 2. Это свойство напоминает свойство инерции частицы, которая в отсутствие сил движется с пос­тоянной скоростью.

Принцип суперпозиции можно сформулировать следующим обра­зом. Если Ψ₁(х, t) — решение волнового уравнения (волновая функция) при заданных определенных условиях и Ψ₂(х, t) — другое решение этого уравнения при тех же условиях, то сумма:

Ψ₁(х, t) + Ψ₂(х, t)         (17.1)

тоже будет решением волнового уравнения при тех же самых услови­ях. Этот принцип отражает наиболее фундаментальное свойство волн.

Часто требуется определить результирующую волну, если заданы две отдельные волны (поведение которых нам известно). Согласно прин­ципу суперпозиции, результирующая волна равна просто сумме этих волн. Вспомним пример двух волн Ψ₁(х, t) и Ψ₂(х, t), распространяю­щихся навстречу друг другу вдоль одной линии. Результирующая волна есть Ψ₁ + Ψ₂ (фиг. 224). Сначала она состоит из двух сближающих­ся (α), а потом — из двух расходящихся импульсов (b).

Свойство суперпозиции представляется совершенно естественным, а в некоторых случаях — просто очевидным. Так, сумма двух чисел есть число, сумма двух векторов — вектор, а сумма двух волн, как мы показали, — тоже волна. Чтобы ответить на вопрос, что же такое волна, приходится каждый раз обращаться к конкретным примерам. В случае пружины, например, волна — это смещение пружины как функция положения и времени. В случае же, скажем, поверхности пруда волна — смещение воды как функция положения и времени. Абстрактное понятие волны возникает, конечно, из наблюдений такого рода реальных волн, распространяющихся на воде или по пружине. Однако в конце концов нам придется говорить о волнах, которые ни в чем не распространяются и описываются смещением Ψ, не являющимся фактически смещением чего бы то ни было. Волны, как векторы и числа, становятся строго определенными математическими объектами, изучение которых дает стройную систему, подобную геометрии или механике Ньютона. Что касается того, хорошо или плохо полученная система описывает явления природы, то это зависит от степени их соответствия друг другу.