Тепловое расширение тел

Пример 1

Как велика сила, которую нужно приложить к медной проволоке сечением 10 мм², чтобы растянуть ее настолько же, насколько она удлиняется при нагревании на 20 К?

Дано: S=10*10^-6 м²— сечение проволоки, ∆Т=20 К — изменение температуры проволоки, E=1,2*10¹¹ Па — модуль Юнга для меди, α=1,7*10^-5 К^-1 — коэффициент линейного расширения меди.

Найти: F — растягивающую силу (нагрузку).

Решение. Относительное удлинение ∆l/l₀ проволоки или стержня под действием растягивающей нагрузки будет тем больше, чем больше напряжение α=F/S от этой нагрузки в поперечном сечении проволоки и чем меньше модуль упругости Е (модуль Юнга) материала:

Отсюда найдем абсолютное удлинение проволоки:

По условию задачи проволока должна получить такое же удлинение при нагревании на ∆Т:

∆l= l₀α∆l

Приравнивая правые части равенств и решая полученное уравнение относительно F, получаем:

F=ESα∆T

Подставляя числовые значения в последнюю формулу, получим:

F=1.2*10¹¹ Па*10*10^-6 м²*17*10^-6 К^-1*20 К≈410 Н.

Ответ. Растягивающая нагрузка равна 410 Н.

Пример 2

Насколько увеличится объем сплошного железного куба, если сообщить ему 296,4 кДж тепла?

Дано: ∆Q=296400 Дж — количество тепла, сообщенного телу, с=460Дж/(кг*К) — удельная теплоемкость железа, р=7800 кг/м³— плотность железа, α=12*10^-6 К^-1 — коэффициент линейного расширения железа.

Найти: ∆V — изменение объема железного куба.

Решение. Искомое изменение объема железного куба:

∆V=V₀β∆T

Изменение температурь ∆T можно найти из формулы для количества тепла, полученного телом:

∆Q=cm∆T=cpV₀∆T,

откуда:

Подставив найденное значение ∆T в выражение для ∆V и учитывая, что β≈3α, получим:

Подставляя числовые значения, находим:

Ответ. Объем куба увеличится на 3,0 см³.

Примечание. Из уравнения для ∆V видно, что приращение объема не зависит ни от начального объема, ни от температуры. Если бы начальный объем V₀ был задан, можно было бы определить изменение температуры тела; например, при V₀=1 дм³ ∆Т=100 К.