Столкновения частиц. Третий закон

Задача о поведении двух сталкивающихся частиц стара, как мир; вместе с решением задачи о движении свободно падающих и бросаемых тел ее решение легло в основание теории движения. Предложив принцип инерции, Декарт удачно сформулировал закон движения изолированной частицы, летящей в пустоте и не испытывающей действия остальных частиц, но ему не удалось ответить на вопрос: что происходит, когда две частицы сталкиваются? Над этой проблемой много размышлял Галилей, который нашел ее весьма запутанной. Не окажется ли сила, действующая при столкновении, бесконечно большой? Такой вывод казался Галилею неправдоподобным:

«Я вывел заключение, что вопрос о силе удара представляется весьма темным, и никому из числа ранее занимавшихся им не удалось проникнуть в сущность этого предмета, полную мрака и далекую от обычных человеческих представлений. Одно из удивительнейших заключений, оставшихся в моей памяти, состоит в том, что сила удара неопределенна, чтобы не сказать — бесконечно велика».

Трудность здесь состоит в том, что во время столкновения сила нарастает настолько быстро, что оказывается невозможным проследить за ее изменением со временем. Однако, как мы увидим позже, произведение F∆t остается величиной конечной, так как при возрастании силы время ее действия уменьшается. [Это один из многочисленных случаев, когда произведение или отношение двух величин остается конечным, в то время как сами величины становятся бесконечно большими или бесконечно малыми; такие случаи в истории науки не раз бывали источником печальных заблуждений. Некоторые парадоксы Зенона объясняются тем, что, хотя временные и пространственные интервалы становятся бесконечно малыми, их отношение остается конечной величиной. Используемые в настоящее время методы (вычисления пределов) для разрешения подобных парадоксов технически довольно просты. Однако то обстоятельство, что для создания этих методов потребовалось несколько тысячелетий, подсказывает нам, что в них содержатся некие тонкости, которые нелегко уловить.]

В 1668 г. Лондонское Королевское общество предложило исследовать проблему столкновений; решения были представлены математиком Джоном Уаллисом, строителем собора Святого Павла сэром Христофором Реном и голландским физиком Христианом Гюйгенсом. Некоторые их умозаключения и эксперименты обсуждались Ньютоном в его «Началах». Ньютон тоже предложил решение, по существу не отличавшееся от других. Однако ему удалось связать задачу о столкновениях, казавшуюся до него самостоятельной, с другими проблемами движения и решить их все с помощью трех постулатов.

Относящийся к данной проблеме постулат — третий закон движения Ньютона — фактически определяет характер сил, действующих в природе. Второй закон Ньютона связывает изменения движения с приложенными силами. Ньютон постулирует, что между всеми телами действуют силы одной природы — силы тяготения. Об остальных же силах (тяга, толчки и т. п.) он утверждает лишь то, что сказано в его третьем законе: если в какой-то момент времени тело (назовем его телом 1) действует с силой на другое тело (тело 2), то тело 2 будет одновременно действовать на тело 1 с равной и противоположно направленной силой независимо от природы действующих между телами сил. Используя обозначения, введенные на фиг. 90, можно написать Третий закон. Всегда:

F_{2 на 1} + F_{1 на 2} = 0

В комической ситуации человек, выпрыгивающий из лодки (фиг. 91), испытывает на себе действие третьего закона. Чтобы выбраться из лодки на пристань, ему нужна сила, которая могла бы ускорить его.

Он надеется получить ее от лодки. Для этого (если взаимодействие между человеком и лодкой подчиняется третьему закону Ньютона) он толкает ее с силой, равной по величине и противоположно направленной требуемой ему силе. Если бы лодка была бесконечно тяжелой, то все было бы в порядке, однако в этом случае ее нельзя было бы считать лодкой. Маленькая же лодка под действием силы, с которой человек толкает ее, начнет ускоренно двигаться от него (второй закон). И как раз в тот момент, когда прыгун окажется между лодкой и пристанью, т. е. когда ему больше всего понадобится толчок, лодки не окажется на месте.

Можно рассматривать третий закон в качестве постулата, позволившего Ньютону вывести результаты, ранее полученные Реном, Гюйгенсом и Уаллисом. Собственное мнение Ньютона о форме, которую он придал третьему закону, содержится в его «Поучении». Непосредственным следствием этого закона, характеризующего природу сил, является одна из наиболее знаменитых теорем механики — закон сохранения импульса. Последний оказывается настолько глубоким, что он остается в физике даже тогда, когда ньютоновская механика уже не используется. Он является одним из тех законов, которые, будучи получены в качестве специальных теорем, в дальнейшем оказываются гораздо более важными и общими, чем постулаты, из которых они были выведены. Можно построить всю физику, полагая, что закон сохранения импульса является одним из исходных постулатов; в таком случае допущения, подобные третьему закону, окажутся при определенных оговорках теоремами.