Релятивистская механика

Релятивистская механика. Принцип относительности и постоянство скорости света не противоречат друг другу, если использовать правила Эйнштейна для преобразования длин и временных отрезков при переходе из неподвижной в движущуюся систему отсчета. Тогда уравнения электродинамики — уравнения Максвелла — будут иметь одну и ту же форму во всех координатных системах. Скорость света, например, (свет есть электромагнитная волна, т. е. одно из решений уравнений Максвелла), будет иметь одно и то же значение во всех равномерно движущихся системах отсчета. Помимо этого, принцип относительности содержит утверждение, что не существует способа, с помощью которого можно было бы установить свое состояние абсолютного покоя: «Никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя». Это означает, что все уравнения физики должны иметь такую форму, которая не позволяла бы использовать никакие явления, описываемые этими уравнениями, для обнаружения абсолютного движения системы.

В этом случае немедленно встает вопрос: обладают ли уравнения механики, законы Ньютона, прослужившие к 1905 г. более двухсот лет, требуемыми свойствами? Ответ будет отрицательным. Если длины и времена преобразуются при переходе из одной движущейся системы в другую согласно правилам Эйнштейна, то уравнения Ньютона в том виде, как их написал Ньютон, не согласуются с принципом относительности.

Суть проблемы выглядит так. Если бы при переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой, длины и времена преобразовывались в соответствии с правилами Галилея, т. е. так, как считали до Эйнштейна, то из уравнений Ньютона нельзя было бы найти разницу между покоящимся наблюдателем и наблюдателем, равномерно движущимся по отношению к нему. Во всех инерциальных системах законы Ньютона были бы верны. Однако уравнения Максвелла при таких преобразованиях не сохраняли бы своей формы; в частности, скорость света не была бы одинаковой для различных наблюдателей.

Экспериментальный факт, что скорость света одна и та же для всех равномерно движущихся друг относительно друга наблюдателей, лежит в основе изменения преобразований длины и времени при переходе из неподвижной в движущуюся систему отсчета. При преобразованиях Лоренца уравнения Максвелла имеют один и тот же вид в обеих системах. Скорость света становится постоянной. Ньютоновские же уравнения преобразуются при этом неправильно. (Легко показать, что уравнения Ньютона в той форме, в какой мы писали их раньше, приводят к многим трудностям. Так, если на тело действует постоянная сила, то, согласно этим уравнениям, тело будет двигаться с постоянным ускорением. При этом его скорость может неограниченно возрастать. Таким образом, с точки зрения Ньютона, тело может обладать скоростью, превышающей скорость света. Но для теории относительности обычное тело, движущееся со скоростью, большей скорости света, ставит непреодолимые трудности.)

Поэтому мы вынуждены либо отказаться от принципа относительности, либо так изменить уравнения Ньютона, чтобы они согласовывались с этим принципом. Если мы откажемся от принципа относительности, то придется признать, что с помощью какого-нибудь механического опыта нам удастся определить свое абсолютное движение. Лоренц, Эйнштейн, да и все физики двадцатого века выбрали второй муть: уравнения Ньютона изменить так, чтобы они согласовывались с принципом относительности. Априорно нельзя сказать, какой из этих путей верный. Мир может быть устроен и так, и этак; необходимо было исследовать мир, чтобы выяснить, как он устроен. В начале века существовало достаточное количество данных, свидетельствующих о том, что изменять следует уравнения Ньютона.

Первые два закона движения Ньютона, сформулированные нами раньше, гласят:

• в отсутствие сил тело движется равномерно по прямой линии;
• при наличии сил тело так изменяет свое состояние движения, что

F = Δ(mv)/Δt,  (31.1)

или

FΔt = Δp, (31.2)

т. е. импульс силы равен изменению количества движения тела.

Прежде чем видоизменять эти уравнения, ответим на один неизбежный вопрос. Мы подробно исследовали выводы из уравнений Ньютона для различных силовых систем. В случае движения планет, например, следствия из уравнений Ньютона, примененных к гравитационным силам, действующим между телами, находятся в прекрасном согласии с наблюдаемыми движениями планет. Иными словами, ньютоновская система великолепно описывает наблюдаемые свойства нашего мира, так что эту систему мы называли не иначе, как «точная», «правильная» или «истинная». Теперь же мы утверждаем, что эти уравнения Ньютона и вытекающие из них выводы не согласуются с принципом относительности и их следует модифицировать. Как это понимать?

Ясно, что любая другая система уравнений, которая должна описывать те же явления, обязана быть сходной с уравнениями Ньютона в той области нашего опыта, где уравнения Ньютона заведомо выполняются, например, в случае движения планет пли в различных земных механических системах. Однако у нас нет никакой гарантии, что ньютоновские уравнения будут правильно описывать явления, которые мы еще не наблюдали. Написанные уравнения обладают гораздо большей общностью, чем те явления, на которых они выведены. Поэтому при пересмотре уравнений Ньютона с целью согласовать их с принципом относительности фактически задаются таким вопросом: можно ли так модифицировать уравнения Ньютона, чтобы они были подобны прежним уравнениям в тех областях, где новые и прежние уравнения должны быть близки, например, при изучении движений планет, но существенно отличались от старых уравнений, будучи согласованы с принципом относительности?

Модификация теории, добившейся успехов, всегда представляет собой тонкий вопрос, так как любая теория, в том числе и ньютоновская, является тщательно разработанной системой всевозможных соотношений. Наш опыт свидетельствует о том, что значительная часть этой системы вполне верна, дальнейший же опыт (принцип относительности) показывает, что остальные части системы несправедливы. Поэтому модифицировать теорию следует так, чтобы та часть системы, которая, как мы знаем, верна, оставалась бы практически неизменной (под словом «практически» мы подразумеваем возможность таких изменений, которые настолько малы, что их невозможно уловить нашими органами чувств), в то время как та часть системы, которая модифицируется радикально, не была бы до этого экспериментально обследована.

В случае модификации уравнений Ньютона это означает, что для частиц, движущихся с малыми скоростями, релятивистские уравнения (будем называть эти модифицированные уравнения «релятивистскими») должны давать уравнения Ньютона с поправками, достаточно малыми, чтобы они не проявлялись при наблюдениях. При скоростях же, близких к скорости света, изменения уравнений должны быть существенными. Таким образом, уравнения Ньютона и релятивистски измененные уравнения движения дают практически одни и те же описания явлений, происходящих в диапазоне скоростей порядка скоростей планет. Только при скоростях, близких к скорости света, релятивистские поправки становятся достаточно большими, чтобы их можно было легко наблюдать. Именно из-за того, что Ньютон и его современники имели дело с явлениями, в которых скорости были малы по сравнению со скоростью света, предложенные Ньютоном уравнения оказались столь успешными. Забавно, что часто удается радикально изменить основные постулаты, на которые опирается теория, сохранив при этом значительную часть самой теории. Это подобно тому, как если бы нам удалось в целости и сохранности перенести в наше время готический собор со всеми его колоннами, арками, парящими контрфорсами, гаргульями¹⁾ и ангелами.

1) Контрфорс — боковая опора степы, гаргулья — выступающая водосточная труба в виде фантастической фигуры.

Единственное, что надо сделать для согласования первого и второго законов Ньютона с принципом относительности, это изменить определение импульса, или количества движения. Согласно Ньютону, количество движения равно произведению массы тела на его скорость: p = mv. Оказывается, что достаточно ввести следующее новое определение импульса, при котором уравнения Ньютона станут согласованными с принципом относительности:

p = (m₀/√(1— v²/с²))*v,  (31.3)

Величина m₀ называется массой покоя частицы и описывает ее массу, когда частица неподвижна. Именно массу m₀ приписывал Ньютон своим частицам. Чтобы получить релятивистскую массу, мы разделили массу покоя на вездесущий множитель:

√(1— v²/с²),

который впервые появился при анализе опыта Майкельсона — Морли, а затем стал повсюду мелькать в теории относительности подобно выпущенному на свободу джинну. Таким образом, релятивистские уравнения Ньютона принимают следующий вид:

• Если на тело, движущееся равномерно, не действуют силы, то это тело продолжает двигаться равномерно.
• FΔt = Δp (31.2)

где

p = (m₀/√(1— v²/с²))*v,  (31.3)

Третий закон Ньютона (о природе сил) не изменяется, пока мы имеем, дело с контактными силами. В случае сил, действующих на расстоянии (подобных гравитационной силе), встает общая проблема, которая связана с тем, что изменение силы не может мгновенно передаться от одной точки пространства к другой (так как никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света). Поэтому для удобства приходится считать, что все силы переносятся от тела к телу посредством каких-то объектов (полем, частицами или …?). Для этих объектов выполнение третьего закона обеспечено.

Для ньютоновской системы (фиг. 45):

F_{1 на 2} = – F_{2 на 1}

Для релятивистской системы (фиг. 46):

F_{1 на ?} = – F_{? на 1}

F_{? на 2} = – F_{2 на ?}

Нетрудно получить основные качественные следствия из этих уравнений. Мы можем рассматривать релятивистскую модификацию как изменение массы частицы при увеличении ее скорости. Когда скорость частицы приближается к скорости света, величина v²/с² стремится к. единице, множитель √(1— v²/с²) становится очень малым и масса:

m₀/√(1— v²/с²)

(характеризующая инерцию частицы) неограниченно растет. Таким образом, когда скорость частицы приближается к скорости света, инерция частицы неограниченно возрастает и обращается в бесконечность при v = с. Поскольку инерция частицы характеризует ее сопротивляемость изменению состояния движения, то чем больше инерция, тем большая сила требуется для ускорения частицы. Когда скорость частицы приближается к скорости света, изменить эту скорость или сообщить частице ускорение становится все труднее. Таким образом, мы получили весьма важный результат: с точки зрения релятивистских уравнений невозможно ускорить частицу до скоростей, превышающих скорость света.

Когда скорости» частицы мала по сравнению со скоростью света, релятивистские поправки в уравнениях Ньютона пренебрежимо малы. Например, при типичных скоростях движения планет (порядка 30 км/с):

т. е. при таких скоростях релятивистская поправка к массе тела будет порядка одной стомиллионной. В результате орбиты планет, предсказанные на основании уравнений Ньютона, будут отличаться от тех же орбит, но полученных из релятивистских уравнений, на величину порядка отношения единицы к ста миллионам.

Именно в таком смысле следует понимать утверждение, что релятивистские уравнения переходят в ньютоновские при скоростях, значительно меньших скорости света. При стремлении v к нулю множитель √(1— v²/с²) стремится к единице, и в конце концов релятивистские уравнения в точности совпадают с уравнениями Ньютона. Один из способов получения релятивистских уравнений состоит в поисках ответа на вопрос: как должна выглядеть система уравнений, которая переходит в уравнения Ньютона в случае, когда частицы покоятся, и одновременно согласуется с принципом относительности? Один из возможных ответов и приведен выше.