Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим следующий колебательный контур. Будем считать, что его сопротивление R настолько мало, что им можно пренебречь.

Полная электромагнитная энергия колебательного контура в любой момент времени будет равняться сумме энергии конденсатора и энергии магнитного поля тока. Для её вычисления будет использоваться следующая формула:

W = L*i^2/2 + q^2/(2*C).

Полная электромагнитная энергия не будет меняться с течение времени, так как потерь энергии на сопротивлении нет. Хотя её составляющие будут меняться, но в сумме всегда будут давать одинаковое число. Это обеспечивается законом сохранения энергии.

Из этого можно получить уравнения описывающие свободные колебания в электрическом колебательном контуре. Уравнение будет иметь следующий вид:

q’’ = -(1/(L*C))*q.

Такое же уравнение, с точностью до обозначений, получается при описании механических колебаний. Учитывая аналогию между этими типами колебаний, мы можем записать формулу описывающую электромагнитные колебания.

Частота и период электромагнитных колебаний

Но сначала разберемся с частотой и периодом электромагнитных колебаний. Значение частоты собственных колебаний, можно опять же получить из аналогии с механическими колебаниями. Коэффициент k/m будет равняться квадрату частоты собственных колебаний.

Следовательно, в нашем случае квадрат частоты свободных колебаний будет равен 1/(L*C)

ω0 = 1/√(L*C).

Отсюда период свободных колебаний:

T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(L*C).

Данная формула получила название формулы Томпсона. Из нее следует, что период колебаний увеличивается при увеличении емкости конденсатора или индуктивности катушки. Эти выводы логичны, так как с увеличением емкости, время потраченное на заряд конденсатора увеличивается, а с увеличением индуктивности – сила тока в цепи будет возрастать медленнее, из-за самоиндукции.

Уравнение колебаний заряда конденсатора описывается следующей формулой:

q = qm*cos(ω0*t), где qm – амплитуда колебаний заряда конденсатора.

Сила тока в цепи колебательного контура, тоже будет совершать гармонические колебания:

I = q’= Im*cos(ω0*t+pi/2).

Здесь Im – амплитуда колебаний силы тока. Заметим, что между колебаниями заряда и силы тока существует разность ваз, равная pi/2. Опять же по аналогии с механическими колебаниями, где колебания скорости тела опережают на pi/2 колебания координаты этого тела.

В реальных же условиях пренебречь сопротивлением колебательного контура нельзя, и поэтому колебания будут затухающими. При очень большом сопротивлении R, колебания могут вообще не начаться. В таком случае энергия конденсатора выделиться в виде тепла на сопротивлении.