Применение закона сохранения импульса в случае столкновений частиц

Используя закон сохранения импульса, можно проанализировать движение частиц при столкновениях, не зная в подробностях действующие между ними силы. Позже мы увидим, что столкновения бывают различных типов. Некоторые из них можно исследовать до конца, используя только закон сохранения импульса, другие нельзя. Однако и в этих случаях, предполагая некоторые дополнительные свойства сил, удается выяснить многое о движении тел, не детализируя характера сил.

Начнем с простейшего случая движения вдоль одного направления. Вообразим две частицы — для наглядности, например, два бильярдных шара. (Несмотря на наглядность, сравнение с бильярдными шарами на столе является несколько условным, так как шары вращаются. Было бы правильнее представлять два частицеподобных предмета — ледяные шайбы на поверхности замерзшего озера или бильярдные шары в межпланетном пространстве, — которые только перемещаются в пространстве, но не совершают других движений вроде вращения. Однако теория столкновений без бильярдных шаров, как и теория вероятности без рулетки, подобна трапезе без вина.)

Представим себе два бильярдных шара (сначала покоящихся), которые касаются друг друга, а затем разлетаются под действием силы, возникающей между ними. Нас не интересует вопрос, что это за сила. Она может появиться благодаря небольшому взрыву, пружине или любой другой причине. После взрыва шары движутся в разные стороны друг от друга. Можно ли, не зная подробностей воздействия, что-нибудь сказать, о движении шаров после взрыва? Если бы мы попытались ответить на этот вопрос, опираясь непосредственно на законы Ньютона, нам следовало бы точно знать силу, действовавшую на бильярдные шары во время взрыва, что весьма затруднительно, так как величина этой силы достигает очень большого значения за чрезвычайно короткий промежуток времени и изменяется со временем по сложному закону. Однако мы можем справиться с задачей, используя закон сохранения импульса.

Анализ движения двух частиц равной массы, находившихся в начальный момент в покое

Перед взрывом (фиг. 102):

v₁ = 0, p₁ = mv₁ = 0, (11.22)

v₂ = 0, p₂ = mv₂ = 0, (11.23)

Следовательно, полный импульс системы двух частиц

 P = p₁ + p₂ = 0, (11.24)

Он остается неизменным, как бы частицы, ни взаимодействовали между собой (фиг. 103, 104).

Будем обозначать (фиг. 104) скорости после взрыва через v₁` и v<sub>2</sub>`. После взрыва тело 1 движется со скоростью v₁`, а тело 2 — со скоростью v<sub>2</sub>`. Между v₁` и v<sub>2</sub>` существует связь, так как полный импульс системы после взрыва, согласно теореме 11.2:

P` = p<sub>1</sub>` + p₂` = mv<sub>1</sub>` + mv₂` = 0, (11.25)

(импульс системы после взрыва совпадает с ее импульсом до взрыва, который равнялся нулю). Следовательно,

mv₁` + mv<sub>2</sub>` = 0, (11.26)

или

v₁` = — v<sub>2</sub>`

Таким образом, шары будут разлетаться в разные стороны с одинаковой скоростью независимо от конкретных свойств силы, разделившей их. В общем случае многих частиц закон сохранения импульса записывается в виде одного уравнения, которое всегда выполняется:

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = const

Иными словами, полный импульс системы остается постоянным.

При решении задачи, которую принято называть проблемой столкновений, обычно говорят о начальном импульсе, или импульсе до столкновения, и о конечном импульсе, или импульсе после столкновения. При столкновении частицы, как правило, взаимодействуют друг с другом очень короткий промежуток времени, в течение которого и происходит изменение их импульсов. Перед столкновением все частицы движутся согласно первому закону Ньютона, и после столкновения их движение снова подчиняется этому закону. Импульсы же частиц изменяются только во время самих столкновений.

Для системы двух частиц закон сохранения полного импульса записывается в общем случае в следующем виде:

р₁ + р₂ = р₁` + р<sub>2</sub>`.        (11.29)

Отсюда видно, что, зная любые три импульса, можно определить четвертый. Например, если известны р₁, р₂ и р₁`, можно найти р<sub>2</sub>`, т. е. конечный импульс второй частицы:

p₂` = р<sub>1</sub> + p<sub>2</sub> — p<sub>1</sub>`        (11.30)

Так, при ядерном столкновении, в котором участвуют два Налетающих и два разлетающихся ядра (хотя система и не является ньютоновской, считается, что закон сохранения полного импульса выполняется), импульс одной из частиц обычно определяется путем измерения импульсов остальных трех ядер.