Понятие математической модели

Обсудим личное определение модели, принятое в арифметике; в предстоящем будем именовать его математической моделью в узеньком значении термина:

Математическая модель — это огромное количество частей случайной природы, на которых определено конечное огромное количество отношений.

Будем обозначать М = {т₁, m₂…} — огромное количество частей (его именуют несущим обилием ), R = {R₁, R₂ …R_n} — огромное количество отношений меж ними.

Определение, непременно, нуждается в комментариях.

1. В математической модели не конкретизируется, каковой нрав (природа) частей огромного количества М — он может быть хоть каким. Не считая того, отсутствует требование дискретности этого огромного количества, т.е. в общем случае оно может содержать нескончаемое количество частей; примером может служить огромное количество вещественных чисел, для которых определены дела а > b либо а₂ = b.

2. На одном и том же огромном количестве могут быть построены разные модели, если будут выделены разные группы отношений. К примеру, учебную группу можно рассматривать как объединение субъектов с их межличностными отношениями, но можно выделить информационные дела, имущественные, схожие и пр. Соответственно, будут строиться и описываться разные математические модели.

3. Нрав отношений меж элементами огромного количества определяется качествами, которыми элемент может владеть либо, напротив, не владеть. К примеру, для огромного количества людей определено отношение «быть другом». Для каждого отдельного элемента (т.е. человека) существует большее либо наименьшее число частей из такого же огромного количества, владеющие набором параметров (свойств), позволяющих установить обозначенное отношение; но имеются и те элементы, которые нужным свойством не владеют, и данное отношение не устанавливается. Таким макаром, дела определяются атрибутами частей огромного количества: R_k = R_k(a₁ … a_p). Принципиально, что число отношений и количество атрибутов конечны.

4. Дела меж элементами огромного количества могут носить парный (бинарный) и непарный нрав. К примеру, для частей огромного количества целых чисел определены парные дела x_i = x_i—1 + 1, x_i = x_i+1 — 1. Они и огромное количество целых чисел определяют одну из вероятных математических моделей для данного огромного количества. В качестве примера непарных отношений можно разглядеть отношение а∙х + b = 0 для неких троек чисел а, b, х (при а ≠ 0) из огромного количества оптимальных чисел справедливо, как следует, они также образуют математическую модель (в отличие от других троек, которые этому отношению не удовлетворяют и, таким макаром, в данную модель не входят).

Для описания математических моделей употребляются языковые и графические средства. Язык описания может быть формализованным (к примеру, язык математических формул) либо естественным. Графическая форма, как обычно, обеспечивает удобство общего обзора модели, но, наглядность эта проявляется исключительно в случае бинарных отношений; если дела в модели не являются бинарными, изображать модель в виде графа становится неловко, и для их представления употребляются языковые средства.

Разглядим графическую форму модели, соответственной последующему словесному описанию: «А обучается в одной группе с В и С, но не с D и Е, которые обучаются в другой группе». Тут М = {А, В, С, D}, а отношением R будет «учиться в одной группе». Верхушками графа являются элементы несущего огромного количества, а его дугами — дела.

Дела меж элементами огромного количества R_k могут владеть разными качествами, но важными из их являются три: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

R обладает свойством рефлексивности, если хоть какой элемент М, на котором R определено, вступает в отношение с самим собой.

Отношение «учиться в одной группе» обладает свойством рефлексивности, так как каждый студент обучается сам с собой в одной группе. На графе свидетельством рефлексивности являются дуги, начинающиеся и заканчивающиеся на одном и том же элементе. Другим примером рефлексивного дела является «равенство» (если а = b, разумеется, а = а). Примером нерефлексивных отношений могут служить «больше» (а > b) либо «быть родителем» (разумеется, что ничто не порождает самое себя).

R обладает свойством симметричности,если из того, что элемент т, огромного количества М связан этим отношением с элементом т₂, то непременно и т₂ связан с т₁ тем отношением.

На графе симметричность дела видна в том, что дуги, связывающие верхушки, являются парными и обратно направленными. Рассматриваемое в данном примере отношение симметрично, так как, если А обучается с B в одной группе, то, разумеется, и B обучается с A в одной группе. Примерами несимметричных отношений могут служить «быть начальником», «быть родителем», «больше». На графе несимметричное отношение изображается одинарной направленной дугой. В конце концов,

Отношение R транзитивно, если из того, что этим отношением связаны т₁ и т₂, также т₁ и т₃, следует, что меж m₂ и m₃ имеется то же отношение.

Разумеется, рассматриваемое отношение транзитивно, что отражено парными пунктирными дугами, связывающими B и С. Примером нетранзитивного дела является «быть родителем»: если справедливо, что X является родителем Y, также X является родителем Z, то Y и Z таким отношением не связаны.

Если некое отношение R обладает сразу качествами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то молвят, что оно является отношением эквивалентности. Такие дела разбивают огромное количество М на непересекающиеся классы эквивалентности — это видно из нашего примера: классами эквивалентности оказываются А, В, С и D, Е, так как они обучаются в различных группах, но связаны одним типом отношений.

Кроме рассмотренных параметров отношений вероятны обратные им характеристики — антирефлексивность, антисимметричность и нетранзитивность. Существование таких оборотных параметров значит отсутствие прямого характеристики в отношениях меж хоть какой парой частей М.

Композицией параметров из приведенной шестерки (прямых и оборотных) можно охарактеризовать разные дела. К примеру, можно показать, что отношение «≤» является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным; отношение «<» — транзитивным, антисимметричным и антирефлексивным.

Математические модели в узеньком значении термина обширно применяется в теории принятия решений, математической лингвистике, представлении познаний и ряде других разделов информатики. Но, как уже указывалось, почаще термин «математическая модель» употребляется в широкой трактовке как описание задачки с внедрением формализма арифметики.