Первый и второй законы Кирхгофа в матричной форме на основе дерева графа

Выберем дерево графа (рис.1.11 утолщенные линии). Для дерева удобно использовать внутренние ветви 2, 4, 5.

Составим матрицу главных сечений В:

Сечение графа называют главным, если оно пересекает только одну ветвь дерева. Тогда число главных сечений равно числу ветвей дерева. Направление сечений должно совпадать с направлением ветвей дерева. Эта матрица содержит число столбцов, равное числу ветвей графа, а число строк, равное числу ветвей дерева. Номера сечений совпадают с номерами ветвей дерева.

Правила заполнения матрицы В такие же, как матрицы А , только принадлежность ветвей и узлов здесь рассматривается относительно сечений и ветвей.

Тогда первый закон Кирхгофа может бать записан в следующем виде:

_{B * I = O^I}, (1.5)

где 0^I ноль-матрица-столбец размерностью, равной числу ветвей дерева графа, I– матрица-столбец токов ветвей графа.

Составим матрицу главных контуров С по графу (рис. 1.11):

В ней число строк равно числу ветвей связи, а номера столбцов соответствуют номерам ветвей.

Контур называют главным, если он содержит только одну ветвь связи, а все остальные ветви должны быть ветвями дерева. Направления главных контуров совпадают с направлениями ветвей связи. Правила заполнения матрицы С такие же, как и у матриц А и В, только они относятся к главным контурам и ветвям.

Введем матрицу-столбец напряжений ветвей графа:

U  = (U1 U2 U3 U4 U5 U6)^T

Если ввести ноль-матрицу-столбец 0^U размерностью, равной количеству ветвей связи, то второй закон Кирхгофа в матричной форме может быть записан в виде:

C * U = 0^U (1.6)