Нелинейные колебательные процессы в мультистабильных системах

Вместе с динамическими переменными, зависимость которых от времени составляет суть колебательного процесса, при рассмотрении колебательных систем приходится иметь дело также с параметрами, неизменными во времени, но, от задания которых, может зависеть нрав реализующегося в системе режима.

К примеру, высококачественные конфигурации колебательных режимов, возникающие при неспешном изменении характеристик системы, могут приводить к возникновению, так именуемых бифуркаций. Одной из всераспространенных проявлений бифуркаций и является возбуждение автоколебаний в нелинейных системах при переходе параметра через критичное, бифуркационное значение амплитуды, к примеру, при плавном увеличении коэффициента усиления колебаний.

Чтоб познакомиться с последующими примерами бифуркаций, обратимся к одной из самых обычных колебательных систем, представленной шариком в лунке рис. 14.3.

Рис. 14.3 Шарик в лунке в случае 1-го (а) и нескольких (б) устойчивых положений равновесия.

В присутствии трения шарик будет совершать колебания поблизости точки минимума, приходя, в конце концов, в состояние устойчивого равновесия. Можно разглядеть и поболее непростой случай и представить, что профиль лунки имеет более 1-го минимума, другими словами содержит несколько лунок, соответственно возрастет и число устойчивых состояний таковой колебательной системы. Зависимо от того, какой была начальная координата и скорость шарика, он попадет в конечном итоге в одну из лунок. В этом случае мы будем иметь дело с колебательной системой, имеющей несколько аттракторов, в качестве которых в этом случае выступают состояния устойчивого равновесия.

Если какая-нибудь колебательная система характеризуется наличием нескольких потенциально вероятных установившихся состояний либо колебательных режимов, то молвят, что имеет место мультистабильность. В линейной системе мультистабильность невозможна. А именно, в данном примере с шариком наличие у профиля нескольких ямок с очевидностью просит, чтоб зависимость возвращающей силы от координаты частички была нелинейной.

Представим сейчас, что форму профиля можно регулировать, изменяя характеристики системы, так, что в процессе этой деформации могут появляться либо пропадать локальные минимумы. Одно из увлекательных явлений будет наблюдаться в ситуации, когда ямка, в какой размещается шарик, сближается с локальным максимумом и исчезает. Это бифуркация слияния устойчивого и неуравновешенного состояний равновесия.

После бифуркации локальный максимум исчезает, и система должна скачком перейти в новое состояние, довольно удаленное от начального. Говоря о скачке, мы имеем в виду, что координата частички перетерпит существенное изменение в конечном итоге процесса перехода в новое состояние. Что касается развития этого процесса во времени, то на исходной стадии он будет довольно неспешным, потому что локально профиль в области нахождения частички фактически тонкий.

Рис. 14.4 Скачкообразное изменение состояния равновесия системы «шарик в лунке» при неспешном изменении ее профиля.

Рис. иллюстрируют как меняется состояние системы «шарик в лунке» при неспешном изменении формы потенциального рельефа. При таком скачкообразном изменении состояния системы молвят о жесткой бифуркации либо катастрофе.

Рис. 14.5 Изменение потенциального рельефа, соответственное двум траекториям движения по плоскости характеристик, приводящим к реализации 2-ух разных состояний устойчивого равновесия.

Зависимо от того, как избран путь на плоскости характеристик при их неспешном изменении, можно придти в одну и ту же точку области бистабильности, имея результатом различные состояния равновесия.