Индуктивные выводы в логике

Выводы по индукции позволяют на основе обобщения част­ных фактов получить общие (для некоторого множества объек­тов) закономерности. В процессе индуктивного обучения форми­руются новые правила, теории и структуры.

Пусть Р — множество известных фактов, имеющихся в БЗ, а Н — некоторая гипотеза (направленная на обобщение этих фактов). Если Р выводится из Н, то будем считать гипотезу Н истинной. Это можно записать в виде

Рассмотрим пример. Пусть множество Р включает факты:

Предикатимеет интерпретацию «Объект X имеет дом». На основе заданного множества фактов Р выдвигаем гипо­тезукоторая соответствует обобщению следую­щего вида: «Любой объект X имеет дом». Гипотеза //является ис­тинной для любого факта из множества Р, следовательно, Р выво­димо из Я, и мы вправе считать гипотезу Н истинной. Замена констант «Иванов», «петров» и «сидоров» обобщающей перемен­ной (УХ) расширяет область действия предиката ДОМ(Х) за пре­делы множества Р. Например, при появлении нового объекта «березкин» можно получить вывод ДОМ(березкин), хотя из Р это­го не следует. Следовательно, диапазон объектов расширился по сравнению с исходным, а гипотеза Н может быть помещена в БЗ как новый элемент знаний.

 что можно интерпретировать фразой «гипотеза Н истинна, если подмножество Р₂ множества Р можно вывести из гипотезы Ни оставшегося подмножества Р_{». Допустим, подмножества Р\ и Р₂ имеют вид:

На основании нового множества Р можно выдвинуть другую гипотезукоторая накладывает ограничение на область подстановки объектов в переменную X, так как в данном случае этот объект должен быть человеком. Теперь при появлении объекта «березкин» можно вывести факт  , но при появлении объекта «береза» значением предиката ЧЕЛОВЕК(6ереза) будет «ложь» и, следовательно, факт  не будет выведен.

Если в множество Р добавить информацию о существовании людей, не имеющих дома, т.е. в множество Р_х добавить формулу

то при подстановке объекта «березкин» не сможем вывести предикат ДОМ березкин), так как принадлежность к роду челове­ческому в данном случае не является достаточным условием для владения недвижимостью. Следовательно, диапазон объектов подстановки необходимо сделать еще уже. Модифицируем под­множество Р₁, добавив еще одно условие:

Выдвинем новую гипотезу Н₂:

Теперь будем получать правдоподобные выводы, так как мно­жество объектов для возможных подстановок в приведенные формулы ограничено людьми — владельцами домов.

Традиционный метод обобщения состоит в выборе гипотезы минимального обобщения среди большого числа возможных гипо­тез, в которых объекты из заданного множества фактов (Р₂) заме­няются переменной и которые расширяют диапазон применения исходных логических формул.

Если такие правила сформулированы в системе, то процесс замены констант на переменные не представляет особых трудно­стей. Удаление из БЗ фактов, противоречащих установленным правилам, обычно не вызывает осложнений. Трудной проблемой является создание новых предикатов, поскольку эта операция неформализуема.

Таким образом, индуктивный вывод — это построение объясня­ющего правила на основе заданных данных. В системах с индуктив­ными выводами на каждом шаге необходимо объяснять все данные, полученные к заданному моменту времени. Данные, полученные на последующих шагах, могут не удовлетворять ранее полученным объяснениям. В этом случае следует корректировать полученные ранее объясняющие правила (гипотезы). Следовательно, процесс индуктивного обучения может оказаться весьма длительным, что вполне согласуется с процессом обучения человека.

Для реализации индуктивного вывода необходимо:

• сформулировать множество правил — объектов вывода;
• выбрать формальный метод представления правил;
• определить способ получения информации извне (показ примеров);
• задать формальный метод вывода;
• сформулировать критерий правильности вывода.

Индуктивные выводы выполняются в процессе бесконечного повторения цикла, включающего процедуры запроса входных данных, формирования гипотез, получения и проверки результа­тов.

В настоящее время индуктивные выводы часто используют­ся для порождения объясняющих гипотез в системах с правдопо­добными рассуждениями абдуктивного типа, в которых могут быть построены различные обобщения базовой теории, соответ­ствующие наблюдаемым фактам.