Геометрия Евклида как общее соглашение

В каком тогда смысле пространство может быть неевклидовым? Имя Евклида сохранилось бы в веках даже в том случае, если бы он не сделал ничего, кроме введения своего пятого постулата (названного позднее «постулатом о параллельных прямых»). Постулат звучит так: «…если прямая, пересекающая две другие прямые, образует с ними на одной стороне внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые, продолженные до бесконечности, пересекутся стой стороны, с которой сумма углов была меньше двух прямых». В другой формулировке этот постулат означает, что в заданной плоскости через заданную точку можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой. (Существование хотя бы одной прямой, параллельной заданной, является следствием остальных постулатов.) Евклид предчувствовал, что этот постулат необходим, например, для доказательства теоремы о сумме углов треугольника. После Евклида он стал предметом споров, продолжавшихся в течение многих веков. Геометры, начиная с Птолемея и Прокла и кончая математиками девятнадцатого века, пытались доказать, что пятый постулат есть следствие остальных четырех.

Эти затруднения объясняются тем, что человеческое мышление стремится привязаться к пространству, которое само по себе евклидово и состоит из физических стержней и точек, удовлетворяющих постулату о параллельных прямых. Только в девятнадцатом веке, когда Лобачевский и Бояи показали, что можно построить замкнутую геометрическую систему, в которой через данную точку проходят несколько прямых, параллельных заданной, стало ясно, что пятый постулат является независимым.

К концу девятнадцатого века были созданы две системы неевклидовой геометрии. Первая из них — риманова геометрия — есть геометрия на поверхности сферы. В этом случае нельзя провести ни одной прямой, параллельной заданной. Прямые определены здесь как линии, проходящие через полюса сферы. Вторая — это геометрия Лобачевского и Бояи, в которой постулируется, что через точку можно провести много прямых, параллельных данной.

Как же все-таки установить, в каком пространстве мы живем — евклидовом или неевклидовом? Возможно, что проще всего это сделать, воспользовавшись непосредственным следствием постулата о параллельных прямых. В геометрии Римана, или геометрии на поверхности сферы, сумма углов треугольника больше 180°, причем отличие от 180° растет с увеличением размеров треугольника. В геометрии Евклида эта сумма точно равна 180°, а в геометрии Лобачевского она меньше 180°. Следовательно, нужно просто взять треугольник (как можно больших размеров), стороны которого состоят из тех линий, которые в природе считаются прямыми, и определить, больше или меньше 180° сумма его углов. Такой эксперимент был впервые предложен Швейкартом. Гаусс попытался определить, используя обычный метод триангуляции и топографические приборы, равна ли сумма углов треугольника 180° или нет. С помощью этих измерений, проведенных для треугольника, вершины которого образовывали три горы, расположенные на расстояниях примерно 100 км друг от друга, Гауссу не удалось заметить никаких отклонений от 180°.

Чтобы определить, являются ли лучи света евклидовыми прямыми, были проведены измерения, в которых в качестве вершин треугольников использовались неподвижные звезды. Например, Лобачевский измерял углы треугольника, основание которого совпадало с диаметром земной орбиты, а вершина находилась в месте положения Сириуса. И опять никаких отклонений от 180° не было обнаружено. Лобачевский писал:

«Тем не менее новая геометрия, основы которой заложены в этой работе, хотя и неприложима к явлениям природы, но может быть объектом нашего воображения; не будучи используемой в реальных измерениях, она открывает новую, область для приложений геометрии к математическому анализу и наоборот».

Однако даже треугольник, образованный диаметром земной орбиты и звездой Сириус, мал в сравнении с треугольниками, которые можно вписать во всю известную нам Вселенную. И возможно, что измерения углов такого гигантского треугольника, стороны которого образованы световыми лучами, покажут, что их сумма больше или меньше 180°. Допустим, что мы произвели съемку лучами света, идущими от одного конца Вселенной к другому, и обнаружили, что сумма углов треугольника отличается от 180°, Обязаны ли мы тогда заключить, что наше пространство неевклидово? Оказывается, что нет. Наш вывод будет полностью зависеть от выбранной точки зрения.

Снова предположим, что мы привязаны к двумерной поверхности сферы и не можем ее покинуть. Далее вообразим, что траектории световых лучей или натянутые струны в этом мире повторяют форму поверхности сферы, образуя большие окружности. Если бы на поверхности этой сферы мы провели триангуляционные измерения с помощью, например, световых лучей, то мы бы обнаружили, что сумма углов треугольника больше 180°. В таком случае, как отметил Пуанкаре, мы могли бы высказать две различные точки зрения. Первая — что мы живем в неевклидовом пространстве, т. е. в пространстве, в котором нельзя провести ни одной прямой, параллельной заданной. Вторая — что мы просто неправильно выбрали прямые линии, т. е. что световые лучи или натянутые струны, которые мы считали прямыми, на самом деле искривлены и поэтому не обладают свойствами евклидовых объектов.

Взглянув снаружи на поверхность нашей сферы, которая находится в трехмерном евклидовом пространстве, мы сразу же обнаружим, что имеем дело с кривыми на поверхности сферы, а не с «настоящими» прямыми. Поэтому мы можем встать на ту точку зрения, что «настоящее» пространство евклидово, нонам так повезло (или не повезло), что мы живем на поверхности сферы, не позволяющей нам реализовать такие объекты (прямые), которые обладают свойствами евклидовых объектов и удовлетворяют постулатам Евклида.

Следовательно, вопрос —является ли пространство евклидовым или нет—становится вопросом соглашения. Если мы, например, решим, что лучи света распространяются по прямым линиям, а затем из измерений обнаружим, что сумма углов треугольника, образованного этими лучами, отличается от 180°, мы можем отказаться считать лучи света прямыми и попытаться заменить их чем-нибудь другим. Ясно, что мы всегда вправе так поступить; именно эта возможность и является источником большинства трудностей, связанных с вопросом об евклидовости пространства.

Если из какой-нибудь новой физической теории вытекает неевклидовость пространства, то ее можно интерпретировать, полагая, что в мире, в котором мы живем, такие вещи, как траектории световых лучей, не обладают свойствами евклидовых прямых.

Трудности такой интерпретации (если мы желаем допустить, что световые лучи распространяются криволинейно) проистекают из-за того, что в принципе мы можем себе представить наш мир, в котором распространяется свет, погруженным в пространство, где прямые линии существуют. Так, если свет распространяется по поверхности сферы, можно вообразить, что эта сфера погружена в трехмерное евклидово пространство. В результате «настоящее» пространство окажется евклидовым. Нам же просто не повезло, что мы живем на поверхности сферы.

До тех пор, пока спор касается -лишь соглашения, ни одна из спорящих сторон не сможет одержать верх. Однако физическая теория, опирающаяся на неевклидовость пространства, содержит в себе нечто большее, чем просто соглашение. Она утверждает, что соглашение считать пространство евклидовым вряд ли является плодотворным. Какой смысл, например, считать евклидовым такое пространство, в котором световые лучи распространяются так, будто они движутся вдоль поверхности сферы; если натянутые струны изгибаются, как будто они лежат на этой поверхности; если предоставленные самим себе частицы перемещаются как бы вдоль этой поверхности; если в конце концов вообще невозможно реализовать такие объекты, которые обладали бы свойствами евклидовых прямых? Конечно, при желании мы все-таки можем считать наше пространство евклидовым, но оно будет таким евклидовым пространством, в котором окажется невозможным реализовать объекты, обладающие евклидовыми свойствами. Проявив упрямство, мы все же можем назвать «настоящее» пространство евклидовым. Однако такая интерпретация будет еще менее плодотворной.

Таким образом, если наша деятельность ограничена поверхностью сферы, то проще (но необязательно) считать пространство неевклидовым, обладающим свойствами геометрии на сфере, нежели говорить, что мы живем в таком евклидовом пространстве, в котором невозможно реализовать прямые линии. Если бы вся наша деятельность была ограничена поверхностью сферы, если бы световые лучи и т. д. двигались вдоль линий, изображенных на фиг. 87, то в таком мире две «прямые» замыкали бы часть пространства, сумма углов «треугольника» была бы больше 180° и т. д. Мы могли бы считать, что пространство «на самом деле» евклидово, но свет, к сожалению, не распространяется в нем по прямой линии и отклоняется от «истинной прямой» на величину, зависящую от длины пути (фиг. 88). Эту величину можно определить по следующей формуле (фиг. 89):

В таком мире ваш коллега не удивился бы, если бы вы напомнили ему: «Хорошо известно, что лучи света (как и все остальное) не распространяются прямолинейно. Для построения прямой необходимо спроецировать луч света, а затем подправить его направление».

Теории тяготения Ньютона и Эйнштейна (общая теория относительности) различаются между- собой главным образом взглядом на геометрические свойства пространства и времени. В теории Ньютона считается, что пространство евклидово, а частицы могут двигаться криволинейно только под действием сил. В общей же теории относительности предполагается, что пространство-время неевклидово, а частицы всегда перемещаются вдоль путей, которые при заданной кривизне пространства совпадают с линиями, кратчайших расстояний между любыми двумя точками. Хотя эти воззрения существенно расходятся, результаты обеих теорий в большинстве случаев практически совпадают — это лишний раз показывает, до какой степени условен выбор точки зрения. Этот выбор определяется исключительно тем, насколько плодотворны результаты того или иного соглашения. Каждое такое соглашение — плод человеческой мысли, и его адекватность действительному миру проверяется по тому, насколько успешно с его помощью можно организовать явления природы.

Пуанкаре верил, что наиболее удобным соглашением является соглашение об евклидовости пространства, однако спустя всего лишь 15 лет Эйнштейн предложил свою общую теорию относительности, в которой он постулировал неевклидовость пространства. Тем не менее ее вряд ли можно считать «более удобной». Общая теория относительности, хотя и поражает своей красотой и изяществом, никогда не была «удобной» теорией. Многочисленные попытки расчетов с использованием неевклидовой геометрии давали лишь малые поправки к результатам теории Ньютона, которая, без сомнения, более «удобна», так как евклидова геометрия гораздо проще, чем любая другая.