Геометрия Евклида как математическая система

В конце девятнадцатого века Давид Гильберт сформулировал геометрию как строго математическую, или логическую, систему. Многие предположения Евклида, например, касающиеся понятия конгруэнции и т. д., отражают физические свойства пространства. Столь длительное время, потребовавшееся для отделения геометрии как математики от геометрии как науки о физическом пространстве, свидетельствует 0 тех трудностях, с которыми связано такое отделение.

Рассматривая геометрию как математическую систему, начнем с определений исходных объектов. Как правило, эти определения весьма туманны. «Точка—это то, что не имеет частей». Помогает ли оно понять, что же такое точка? «Линия — это длина без ширины». Понятно ли подобное определение? С точки зрения математической системы такие определения не только туманны, но и абсолютно не нужны. Совершенно не существенно, что такое точка или линия. В геометрии как математической системе имеют дело с исходными объектами, которые называются точками, линиями и т. д. и определять которые не нужно. (Для краткости их можно называть «неопределяемыми объектами».) Важно, что между ними существуют определенные соотношения, например: «Любые две точки можно соединить одной и только одной прямой линией». Вводя соотношения между «неопределяемыми объектами», все остальные соотношения мы можем- доказать (теоремы). Структура такой системы не зависит от того, что же на самом деле представляют собой точки или линии.

Такую постановку вопроса нетрудно понять. Рассмотрим игру в шахматы. В этой игре имеются определенные фигуры: ладьи, слоны, кони, ферзи, короли, пешки. Фигуры подчиняются известным правилам; каждая из них может передвигаться строго определенным образом, и, когда начинается игра, фигуры занимают на доске определенные позиции. И хотя любой из нас приблизительно представляет, как должен выглядеть конь, или ферзь, или король (такие сведения нужны, иначе мы не узнаем фигур, глядя на доску), совершенно ясно, что игра в Шахматы не изменится, будет ли форма коня традиционной вычурной, или современной абстрактной, или предельно простой и удобной для игры.

Если, обучая ребенка игре в шахматы, мы объясняем ему, что конь — это человек, сидящий верхом на лошади, король носит корону, в ладье есть башни и т. д., то мы делаем это только из педагогических соображений, облегчая запоминание фигур. Для игры в шахматы важно только, что все фигуры находятся во время игры в определенных между собой отношениях, так как каждая из них может ходить лишь строго определенным образом. Любая последующая позиция на доске является следствием таких правил и не зависит от того, сделаны ли фигуры из Слоновой кости, стали или обычных пробок с воткнутыми в них палочками (фиг. 82).

Точно так же обстоит дело в геометрии Евклида, если рассматривать ее как математическую систему или как образец любой математической системы. Совершенно безразлично, является ли прямая линия длиной без ширины или идеализированным бесконечно тонким стержнем, можно ли ее осуществить с помощью натянутой струны или пучка света. Подобные представления о прямой помогают нам интуитивно ощущать ее свойства, однако они же могут ввести нас в заблуждение. Потому что для геометрии важно только, чтобы те объекты, которые мы называем прямыми линиями, и те, которые считаются точками, удовлетворяли ее постулатам. Если эти объекты выглядят, как изображено на фиг. 83, то ясно, что они не удовлетворят постулатам, если же — как на фиг. 84, то возможно, что удовлетворят.

Следовательно, в геометрии как математической системе имеются свои фигуры — линии, точки и т. д. Имеются и свои правила — постулаты. Используя правила «передвижения фигур» или построения новых (например, треугольников), можно получить все теоремы, образующие великолепную и тонкую структуру, каждый элемент которой связан с остальными ясным и определенным образом. Конечно, наш интерес к этой системе (причина, почему нас интересуют прямые, точки, треугольники и т. д.) объясняется возможностью связать ее с некоторыми объектами реального мира. И первые представления о прямых и точках возникли, несомненно, в результате абстрагирования от таких объектов, которые почти не имеют ширины и почти не имеют частей. Но как математическая система геометрия не зависит от подобных ассоциаций. Принимаются в расчет лишь отношения между «неопределяемыми объектами», и интересуются только структурой как таковой.