Евклидово ли пространство?

Существует несколько вопросов, которые кажутся абсолютно неразрешимыми, например: «Искривлено ли пространство?», «Пересекаются ли параллельные линии на бесконечности?» и т. д. Когда задаются такие сбивающие с толку вопросы, возникает подозрение, часто оправданное, что в их формулировке уже содержится противоречие. Так, все попытки сочетать понятия несокрушимой стены и непреодолимой силы обречены на неудачу, так как эти два понятия не могут, очевидно (а может быть, и не столь очевидно), не вступить в противоречие в одном и том же мире. Источником большинства трудностей в вопросах, касающихся пространства, является путаница в понимании смысла геометрических определений и постулатов. Так как мы считаем геометрию образцом математической или физической системы, имеет смысл поговорить о смысле и интерпретации ее определений и постулатов.

Рассмотрим такое простое понятие, как прямая линия. Что такое прямая линия? Евклид утверждает, что (определение 4): «Прямая — это линия, лежащая равномерно со своими точками». Далее (постулат 1): «допустим, что любые две точки можно соединить прямой»; это утверждение мы понимаем, как: «Допустим, что любые две точки можно соединить одной и только одной прямой». Кажется, что при таком определении исключается случай, изображенный на фиг. 79. Говоря словами Евклида или его непосредственных последователей: «Две прямые не могут замкнуть часть пространства». Любой опрос общественности с участием не только логиков выявил бы согласие с этим утверждением, тем более что линии, изображенные на рисунке, выглядят действительно кривыми.

Но представим себе, что линии, которые считались нами прямыми, являются на самом деле кривыми, нарисованными, например, на поверхности сферы (фиг. 80). Такими «прямыми» без труда можно замкнуть часть пространства. Какой же тогда смысл говорить, что то, о чем мы «думаем» как о прямой линии, «на самом деле» оказывается кривой? Нам следовало бы прежде всего выяснить, что такое прямая линия в физическом мире. Или, другими словами: «Как в действительности построить прямую линию?»

Сами собой напрашиваются несколько способов. Можно, например, изо всех сил натянуть струну и сказать: «Вот прямая линия», или спроецировать луч света и тоже сказать: «Это прямая линия». Однако, поступая так, мы делаем неявное предположение, что объекты реального мира, такие, как луч света или натянутая струна, обладают свойствами прямой линии геометрии Евклида.

Но ведь можно вообразить, что мы живем в мире, в котором лучи света и натянутые струны искривлены. Говоря, что прямые, образованные лучами света или струнами, обладают свойствами геометрии Евклида, мы делаем определенное предположение о свойствах нашего мира; это предположение может быть верным, а может быть и неверным; справедливость этого предположения можно проверить лишь с помощью наблюдений, так как мы с одинаковым успехом в состоянии вообразить, как мир, где лучи света распространяются по «прямым», так и мир, где они распространяются по «кривым» линиям.

Отождествление световых лучей с прямыми линиями настолько укоренилось в нашем сознании, что иногда из-за этого мы приходим к неверным выводам. Когда мы опускаем весло в воду (фиг. 81), мы видим его надломленным. Наши глаза и мозг предпочитают видеть его надломленным, нежели допустить, что свет в этом случае не распространяется по прямой.

Это затруднение снова возвращает нас к Евклиду. Рассмотрим еще раз его определение прямой. Он говорит (определение 4): «Прямая — это линия, лежащая равномерно со своими точками». Но что это значит?

(Геометры до сих пор выдвигают всевозможные догадки о смысле этого определения.) Томас Хит, переводя «Элементы» Евклида, полагает, что Евклид знал определение прямой, данное Платоном: «Прямая — это линия, имеющая середину впереди обоих своих концов», которое означает, что всегда можно выбрать такое положение глаза, когда прямая будет выглядеть точкой. Однако это определение справедливо только в том случае, когда лучи света распространяются по прямой. Евклид проявил гениальность, обнаружив трудность в определении Платона, и попытался избавиться от нее, отказавшись связать свое определение с каким-либо физическим явлением. Он знал (поскольку он написал трактат по оптике), что свет не всегда распространяется по прямой, т. е. траектории световых лучей не всегда удовлетворяют его постулатам.

Как же в таком случае поступить? Представим, что мы живем в мире, в котором свет не распространяется по прямой. Например, допустим, что мы живем на поверхности сферы (что на самом деле верно), но наши действия настолько ограниченны, что никакие явления не выходят за ее пределы: траектории бросаемых нами мячей, натянутые струны, лучи света и т. д. всегда параллельны этой поверхности. При такой ситуации нам никогда не удастся построить линию, обладающую свойствами евклидовой прямой. Должны ли мы отсюда заключить, что параллельные линии пересекаются на бесконечности, что наше пространство искривлено и является неевклидовым? Хотя такой вывод мог бы оказаться более плодотворным, нам все-таки не следовало бы его делать. К этому вопросу мы вернемся позднее.