Частные случаи применения уравнения Менделеева — Клапейрона

Пример 1

Некоторая масса воздуха, занимавшая при температуре 27°С и давлении 2 атм объем 120 л, подвергалась нагреванию. Найти температуру газа, если нагревание было: 1) изохорическим, причем давление возросло на 0,56 атм; 2) изобарическим, причем объем газа увеличился до 150 л. Определить массу газа.

Дано: T₁=300 К — начальная температура, р₁=2*1,013*10⁵ Па и р₂=2,56*1,013*10⁵ Па — начальное и конечное давления, V₁=120*10^-3 м³ и V₂=150*10^-8 м³— начальный и конечный объемы газа, μ=29*10^-3 кг/моль — молярная масса воздуха, R=8,314 Дж/(моль*К) — молярная газовая постоянная.

Найти: T₂— конечную температуру газа для обоих случаев; m — массу газа.

Решение. Конечная температура Т₂ находится из уравнений для изохорического и изобарического процессов, в каждое из которых входят лишь два термодинамических параметра:

p₁/p₂=T₁/T₂ и 2) V₁/V₂=T₁/T₂`

Масса газа m определяется из уравнения Менделеева — Клапейрона:

Подставляя в уравнения числовые значения и вычисляя, находим:

1) T₂ = 2,56/2*300 К = 384 К;

2) T₂`= 150/120*300 К = 375 К;

Ответ. Конечная температура газа при изохорическом процессе равна 111°С, при изобарическом процессе — 102°С. Масса газа равна 0,283 кг.

Пример 2

Объем цилиндра поршневого насоса 0,50 л. Насос соединен с баллоном емкостью 3,0 л, содержащим воздух при нормальном атмосферном давлении. Найти давление воздуха в баллоне после 5 рабочих ходов поршня в случаях режимов работы: 1) нагнетательного; 2) разрежающего.

Дано: V₁ = 0,50 л = 0,50*10^-3 м³— объем цилиндра насоса, V₂=3,0 л=3,0*10^-3 м³— объем баллона, n=5 — число рабочих ходов поршня, р₀ = 1,013*10⁵ Па — первоначальное давление воздуха в баллоне.

Найти: р_H и p_P — давления воздуха в баллоне после n ходов поршня при нагнетательном и разрежающем режимах работы.

Решение 1

После n рабочих ходов поршня в нагнетательном режиме насос заберет из атмосферы объем воздуха V_n=nV₁ при давлении р₀; эта масса воздуха будет введена в объем баллона V₂, создав там парциальное давление р_n; так как изменение температуры не учитывается, то по закону Бойля — Мариотта:

Искомое давление воздуха в баллоне будет равно:

Подставляя числовые значения, получим:

Ответ. В нагнетательном режиме давление воздуха в баллоне после 5 ходов поршня равно 1,86*10⁵ Па.

Решение 2

Если в начале первого рабочего хода поршня воздух в баллоне занимал объем V₂ при давлении р₀, то в разрежающем режиме к концу первого хода поршня та же масса воздуха займет объем V₂+V₁ при давлении р₁. Так как изменение температуры не учитывается, то по закону Бойля — Мариотта:

В начале второго хода поршня объем и давление газа в баллоне равны соответственно V₂ и р₁ в конце хода они равны V₂+V₁ и р₂, откуда:

Продолжая те же рассуждения, находим, что к концу n-го рабочего хода:

Подставляя числовые значения, получим:

Ответ. В разрежающем режиме давление воздуха в сосуде после 5 ходов поршня равно 0,48*10⁵ Па.

Примечание. Легко видеть, что знать числовые значения V₂ и V₁ не обязательно, достаточно знать их отношение V₂/V₁=k. В самом деле, в первом случае:

во втором: